Question

742. Найдите значение выражения:
a)sin 54° - sin 36°/sin 9°
б)cos 25° + cos 85°/cos 55°
в)sin 16° + sin 74°/cos 16° + cos 74°
г)cos 12° - cos 78°/sin 12° - sin 78°
д)cos 40° - cos 80°/1-2sin²35°
е)sin 37° - sin 53°/2cos 236° -1

Помогите

Answer 1

Ответ:

a) √2; б) √3;   в) 1;  г) -1;  д) √3;  е)  $\dfrac{-\sqrt{2} sin8^{0} }{sin18^{0} }$

Объяснение:

Найти значение выражения

а) $\dfrac{sin54^{0} -sin36^{0} }{sin9^{0} }$  

б)$\dfrac{sin25^{0} +cos85^{0} }{cos55^{0} }$

в) $\dfrac{sin16^{0} +sin74^{0} }{cos 16^{0}+cos74^{0} }$

г) $\dfrac{cos12^{0} -cos78^{0} }{sin 12^{0}-sin78^{0} }$

д) $\dfrac{cos40^{0} -cos80^{0} }{1-2sin^{2} 35^{0} }$

е) $\dfrac{sin37^{0} -sin53^{0} }{2cos^{2} 36^{0}-1 }$

a) Воспользуемся формулой

$sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}$

$\dfrac{sin54^{0} -sin36^{0} }{sin9^{0} }=\dfrac{2sin \dfrac{54^{0} -36^{0} }{2} \cdot cos \dfrac{54^{0} +36^{0} }{2}}{sin9^{0} } =\dfrac{2sin9^{0}\cdot cos 45^{0} }{sin9^{0} } =\\\\=2\cdot cos45^{0} =2\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} =\sqrt{2}$

б)  Воспользуемся формулой  

$cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$\dfrac{cos25^{0} +cos 85^{0} }{cos 55^{0} }=\dfrac{2cos \dfrac{25^{0} -85^{0} }{2} \cdot cos \dfrac{25^{0} +85^{0} }{2}}{cos55^{0} } =\dfrac{2cos(-30^{0})\cdot cos 55^{0} }{cos55^{0} } =\\\\=2\cdot cos30^{0} =2\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3}$

в) Воспользуемся формулами

$sin\alpha +sin\beta =2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$\dfrac{sin16^{0} +sin74^{0} }{cos 16^{0}+cos74^{0} }=\dfrac{2sin\dfrac{16^{0} +74^{0} }{2}\cdot cos\dfrac{16^{0} -74^{0} }{2} }{2cos\dfrac{16^{0} +74^{0} }{2}\cdot cos\dfrac{16^{0} -74^{0} }{2} } =\dfrac{2sin45^{0} \cdot cos(-29^{0} )}{2cos45^{0} \cdot cos(-29^{0} )} =\\\\=\dfrac{sin45^{0} }{cos45^{0} } =tg45^{0} =1$

г)  Воспользуемся формулами

$sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}$

$cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$\dfrac{cos 12^{0} -cos78^{0} }{sin 12^{0}-sin78^{0} }=\dfrac{-2sin\dfrac{12^{0} +78^{0} }{2}\cdot sin\dfrac{12^{0} -78^{0} }{2} }{2cos\dfrac{12^{0} +78^{0} }{2}\cdot sin\dfrac{12^{0} -78^{0} }{2} } =\dfrac{-2sin45^{0} \cdot sin(-33^{0} )}{2cos45^{0} \cdot sin(-33^{0} )} =\\\\=-\dfrac{sin45^{0} }{cos45^{0} } =-tg45^{0} =-1$

д)  Воспользуемся формулами

$cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$cos2\alpha =1- 2sin^{2} \alpha$

$\dfrac{cos40^{0} -cos80^{0} }{1-2sin^{2} 35^{0} } =\dfrac{-2sin\dfrac{40^{0}+80^{0} }{2} \cdot sin \dfrac{40^{0}-80^{0} }{2} }{cos70^{0} } =\dfrac{-2sin60^{0}\cdot sin (-20^{0} )}{cos(90^{0}-20^{0}) } =\\\\=\dfrac{2sin60^{0} \cdot sin20^{0} }{sin20^{0} } =2\cdot sin 60^{0} =2\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3}$

е) Воспользуемся формулами

$sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}$

$cos2\alpha =2cos^{2} \alpha-1$

$\dfrac{sin37^{0} -sin53^{0} }{2cos^{2} 36^{0} -1} =\dfrac{2sin\dfrac{37^{0}-53^{0} }{2} \cdot cos \dfrac{37^{0}+53^{0} }{2} }{cos72^{0} } =\dfrac{2sin(-8) ^{0}\cdot cos 45^{0} }{cos(90^{0}-18^{0}) } =\\\\=\dfrac{-2sin8^{0} \cdot cos45^{0} }{sin18^{0} } =\dfrac{-2 sin8^{0} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} }{sin18^{0} } =\dfrac{-\sqrt{2} sin8^{0} }{sin18^{0} }$

#SPJ1