Question

Помогите пожалуйста решить задачу , исследовать на сходимость ​

Answer 1

Ответ:

а) сходится (условно); б) сходится (абсолютно).

Объяснение:

а) $a_n=(-1)^nc_n,$ где $c_n=\dfrac{1}{n-5}.$ Конечно, надо рассматривать ряд

                                $\sum\limits_{n=6}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},$  а не  $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},$

поскольку $a_5$ не существует. Поскольку

  $c _6 > c_7 > c_8 > \ldots > c_n > \ldots$   и     $\lim\limits_{n\to \infty}c_n=0,$  ряд $\sum\limits_{n=6}^{\infty}(-1)^nc_n$ по признаку Лейбница сходится.

Если (хотя в условии задачи об этом не говорится) исследовать этот ряд на абсолютную и условную сходимость, то сразу можно заметить, что ряд  $\sum\limits_{n=6}^{\infty}|a_n|=\sum\limits_{n=6}^{\infty}c_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots$ является гармоническим рядом и поэтому расходится. А поскольку сам ряд сходится, мы делаем вывод, что он сходится условно.

б) $a_n=\cos^3n\cdot {\rm arctg }\dfrac{n+1}{n^3+1}.$  Сразу будем исследовать ряд на абсолютную сходимость:

$|a_n|\le b_n={\rm arctg} \dfrac{n+1}{n^3+1}\sim c_n=\dfrac{n+1}{n^3+1}\sim d_n=\dfrac{n}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}.$

Поскольку $\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n$ сходится как ряд Дирихле (он же обобщенный гармонический ряд)  $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$  с p=2>1, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n$ сходится по предельному признаку сравнения, а тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится по тому же признаку, а тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится по признаку сравнения, что означает абсолютную сходимость исходного ряда.