Ответы
Ответ:
а) 8, б) 2, в) sqrt(2)/2-2, г) 4pi+8, д) 222/5, е) 20968/15, e) 33419/82944 , ж) -sqrt(3)/16, з) 3/ln2-32/(9*ln3)
Пошаговое объяснение:
При заменах dx=dt/t'
∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
∫x^n dx=(x^n+1)/(n+1)
a) Вначале найдем неопределенный интеграл.
∫(4-2x) dx=∫4dx-∫2xdx=4*x-x^2.
(4x-x^2) от -1 до 3 будет: 4*3-3^2-(4*(-1)-(-1)^2)=12-9+5=8.
б) ∫((12/sqrt(6x+4)-3) dx=2*2*sqrt(6x+4)-3x=4sqrt(6x+4)-3x.
4sqrt(6x+4)-3x от 0 до 2 будет։ 4sqrt(6*2+4)-3*2-(4sqrt(6*0+4)-3*0)=4*4-6-4*2=16-6-8=2.
в) ∫(3cos(3x)-0.5sin(x/2)) dx=∫3cos(3x)dx-0.5*∫sin(x/2)dx=3*∫cos(3x)dx-0.5*∫sin(x/2)dx=3*1/3*sin(3x)-0.5*(-2*cos(x/2))=sin(3x)+cos(x/2).
sin(3x)+cos(x/2) от 0 до pi/2 будет։ sin(3pi/2)+cos(pi/4)-(sin0+cos0)=-1+sqrt(2)/2-(0+1)==-2+sqrt(2)/2=sqrt(2)/2-2.
г) ∫4(cos(x/4))^2 dx=4*∫(cos(x/4))^2 dx=4*∫4*(cost)^2dt=16*∫(1+cos(2t))/2 dt=16*1/2*∫1+cos(2t)dt=8(∫1dt+∫cos(2t)dt)=8(t+sin(2t)/2)=8*(x/4+0.5sin(x/2))=2x+4sin(x/2).
2x+4sin(x/2) от -pi до pi будет։ 2pi+4sin(pi/2)-(-2pi+4sin(-pi/2))=2pi+4-(-2pi-4)=2pi+4+2pi+4=4pi+8.
д) ∫(x+2x^2)^2 dx=∫(x^2+4x^3+4x^4) dx=∫x^2dx+∫4x^3dx+∫4x^4dx=x^3/3+x^4+4x^5/5.
x^3/3+x^4+4x^5/5 от -1 до 2 будет: 8/3+16+2^7/5-((-1/3)+1-4/5)=8/3+16+128/5+2/15=222/5.
е) ∫(2x+sqrt(x))^2dx=∫(4x^2+4x*sqrt(x)+x) dx=∫4x^2 dx+∫4x^(3/2)dx+∫xdx=4x^3/3+8x^(5/2)/5+x^2/2=4x^3/3+8x^2sqrt(x)/5+x^2/2.
4x^3/3+8x^2sqrt(x)/5+x^2/2 от 1 до 9 будет: 4*9^3/3+8*81*3/5+81/2-(4/3+8/5+1/2)=4*729/3+8*3^5/5+81/2-103/30=4*243+8*3^5/5+556/15=972+556/15+8*3^5/5=15136/15+8*243/5=15136/15+1944/5=20968/15.
e) ∫(5x^3-x^2+5)/x^5 dx=∫(5x^3/x^5)dx-∫(x^2/x^5)dx+∫5/x^5 dx=∫5/x^2 dx-∫1/x^3 dx+∫5/x^5 dx=-5/x+1/(2x^2)-5/(4x^4)
-5/x+1/(2x^2)-5/(4x^4) от 3 до 4 будет ։ -5/4+1/32-5/4^5-(-5/3+1/18-5/4*3^4)=-5/4+1/32-5/4^5-(-5/3+1/18-5/324)=-5/4+1/32-5/4^5-(-527/324)=1057/2592-5/4^5=1057/2592-5/1024=33419/82944
ж) ∫cos(8x)cos(4x)dx=0.5*∫(cos(4x)+cos(12x))dx=0.5*(∫cos(4x)dx+∫cos(12x)dx)=0.5*(sin(4x)/4+sin(12x)/12)=sin(4x)/8+sin(12x)/24.
sin(4x)/8+sin(12x)/24 от pi/12 до pi/4 будет։ sin(pi)/8+sin(3pi)/24-(sin(pi/3)/8+sin(pi)/24)=0+0-(sqrt(3)/16+0)=-sqrt(3)/16.
з) ∫((18^x-4*3^x)/9^x)dx=∫(3^x(6^x-4)/3^2x)dx=∫(6^x-4)/3^x dx=∫6^x/3^x dx-∫4/3^x dx=∫2^xdx-∫4/3^x dx=2^x/ln2-4*∫1/3^x dx=2^x/ln2-4*∫(1/3)^x dx=2^x/ln2-4*(1/3)^x/ln(1/3)=2^x/ln2+4/(ln(3)*3^x).
2^x/ln2+4/(ln(3)*3^x) от 0 до 2 будет: 4/ln2+4/(9*ln3)-(1/ln2+4/ln3)=3/ln2-32/(9*ln3).
НА ЗДОРОВЬЕ!!!