розвязати приклади:
1) (1+y²)dx-√x dy=0 (загальне рішення)
2) 2|x=1| dy=y dx
додатні умови y=2
x=1
(метод Коші)
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
(1+y²)dx-√x dy=0Для розв'язання цього диференціального рівняння змінимо змінні на такі:u = x^(1/4), v = yТоді:du/dx = (1/4)x^(-3/4)
dv/dx = dy/dxПідставляємо ці вирази в початкове рівняння:(1+v^2)du/dx - u^(3/2)dv/dx = 0Перенесемо один доданок на ліву сторону, а другий на праву:(1+v^2)du/u^(3/2) = dv/dxЩоб інтегрувати це рівняння, введемо нову змінну w:w = arctan(v)Тоді:dv/dx = dw/dx * dv/dw = dw/dx * (1/(1+v^2))Підставляємо це вираз у попереднє рівняння та знаходимо:(1+v^2)du/u^(3/2) = dw/dx * (1/(1+v^2))(1+v^2)^2 du/dx = u^(3/2) dw/dxДалі інтегруємо обидві частини рівняння:∫(1+v^2)^2 du/u^(3/2) = ∫dwЗробивши підстановку для w, отримуємо:∫(1+v^2)^2 du/u^(3/2) = w + Cде C - довільна константа інтегрування.Повертаємось до вихідних змінних:w = arctan(y)
u = x^(1/4)Щоб отримати загальне рішення, потрібно вирішити рівняння відносно w:arctan(y) = ∫(1+x^(1/2)y^2)^2 / x^(3/8) dx + Cде С - довільна константа.2|x=1| dy=y dx, y(2) = 2Застосовуємо метод Коші, де dx = 0 та x = 1:dy = y(1) dx = y(1) * 0 = 0Таким чином, значення y(2) = 2 є розв'язком цього диференціального рівняння в точці x = 1.