18.5. Решите квадратное неравенство: 1) x² - x - 56 > 0;
3) x² + x - 90 < 0;
2) - x² + x + 72 > 0;
4) x² + x - 210 < 0;
5)2х2 - 7х +6 < 0
НУЖНЫ ВСЕ ПРИМЕРЫ
Ответы
Ответ:
Первым шагом нужно найти корни квадратного уравнения x² - x - 56 = 0:
x₁ = (1 + √(1 + 456))/2 ≈ 8.41
x₂ = (1 - √(1 + 456))/2 ≈ -7.41
Затем необходимо построить знаки выражения (x - x₁) и (x - x₂) на числовой прямой:
----|------|------------|----
-x₂ x₁
Из этого следует, что на интервалах (-∞, -7.41) и (8.41, ∞) выражение x² - x - 56 > 0, а на интервале (-7.41, 8.41) оно меньше нуля.
Ответ: x ∈ (-∞, -7.41) ∪ (8.41, ∞).
-x² + x + 72 > 0
Это квадратное неравенство можно переписать как -(x - 9)(x + 8) > 0.
Знак минус перед скобками означает, что знак выражения меняется при переходе через каждый из корней: x = -8 и x = 9.
Построим знаки выражения (x - 9) и (x + 8) на числовой прямой:
----|------------|------|----
-8 9
Из этого следует, что на интервалах (-∞, -8) и (9, ∞) выражение -x² + x + 72 > 0, а на интервале (-8, 9) оно меньше нуля.
Ответ: x ∈ (-∞, -8) ∪ (9, ∞).
x² + x - 90 < 0
Первым шагом нужно найти корни квадратного уравнения x² + x - 90 = 0:
x₁ = ( -1 + √(1 + 490))/2 ≈ 8.61
x₂ = ( -1 - √(1 + 490))/2 ≈ -9.61
Затем необходимо построить знаки выражения (x - x₁) и (x - x₂) на числовой прямой:
----|------|------------|----
-x₂ x₁
Из этого следует, что на интервале (-9.61, 8.61) выражение x² + x - 90 < 0, а на интервалах (-∞, -9.61) и (8.61, ∞) оно больше нуля.
Ответ: x ∈ (-9.61, 8.61)
4) Решим квадратное уравнение x² + x - 210 = 0:
Дискриминант: D = 1 + 4*210 = 841
Корни уравнения: x1 = (-1 - √841)/2 = -15 и x2 = (-1 + √841)/2 = 14
Так как коэффициент при x² положительный, то функция ветвится вверх и на отрезках (-бесконечность; -15) и (14; +бесконечность) она положительна, а на отрезке [-15; 14] отрицательна.
Следовательно, решением неравенства является множество всех значений x, удовлетворяющих неравенству x ∈ (-бесконечность; -15) ∪ (14; +бесконечность).
Ответ: x ∈ (-бесконечность; -15) ∪ (14; +бесконечность).
5) Решим квадратное уравнение 2х2 - 7х +6 = 0:
Дискриминант: D = 49 - 426 = 1
Корни уравнения: x1 = (7 - 1)/4 = 3/2 и x2 = (7 + 1)/4 = 2
Так как коэффициент при x² положительный, то функция ветвится вверх и на отрезках (-бесконечность; 3/2) и (2; +бесконечность) она положительна, а на отрезке [3/2; 2] отрицательна.
Следовательно, решением неравенства является множество всех значений x, удовлетворяющих неравенству x ∈ (3/2; 2).
Ответ: x ∈ (3/2; 2).