Ответы
Ответ: похідна від функції y = 4tgx дорівнює:
y' = 4(sec(x))^2
В точці x0 = П/4, значення похідної дорівнює:
y'(П/4) = 4(sec(П/4))^2 = 4(√2)^2 = 16
Таким чином, наша дотична має нахил 16 у точці x0 = П/4.
Тепер нам потрібно знайти точку перетину дотичної з графіком у точці x0. Щоб це зробити, ми можемо скористатися точкою (П/4, 4tg(П/4)) на графіку функції.
Використовуючи формулу точки-накштовхувача для прямої, ми отримаємо рівняння дотичної:
y - 4tg(П/4) = 16(x - П/4)
або ж
y = 16x - 4√2.
Отже, рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 має вигляд y = 16x - 4√2.
Пошаговое объяснение: для знаходження рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 необхідно виконати наступні кроки:
Знайдіть похідну від функції y = 4tgx, використовуючи правило диференціювання тангенса:
y' = 4(sec(x))^2
де sec(x) - секанс, обернена до косинуса.
Обчисліть значення похідної у точці x0 = П/4, підставивши x0 у вираз для похідної:
y'(П/4) = 4(sec(П/4))^2 = 4(√2)^2 = 16
Отже, нахил дотичної у точці x0 дорівнює 16.
Знайдіть координати точки на графіку функції, що відповідає точці x0 = П/4. Це можна зробити, підставивши значення x0 у вираз для функції:
y(П/4) = 4tg(П/4) = 4
Таким чином, точка на графіку функції, що відповідає точці x0, має координати (П/4, 4).
Використовуючи формулу точки-накштовхувача для прямої, знайдіть рівняння дотичної. Формула точки-накштовхувача для прямої виглядає наступним чином:
y - y(x0) = y'(x0) * (x - x0)
де y(x0) - координата точки на графіку функції, що відповідає точці x0;
y'(x0) - значення похідної у точці x0.
Підставивши відомі значення, ми отримаємо рівняння дотичної:
y - 4 = 16(x - П/4)
або ж
y = 16x - 4√2.
Отже, рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 має вигляд y = 16x - 4√2.