Question

Помогите с решением пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

Сходится.

Объяснение:

 $a_n=\dfrac{(-1)^n}{n-5};\ a_n=(-1)^nc_n,$  где $c_n=\dfrac{1}{n-5} > 0$  (при n>5).

Применим признак Лейбница, который формулируется так: если

1)    $c_1 > c_2 > c_3 > \ldots > c_n > \ldots$  

2) $\lim\limits_{n\to \infty}c_n=0,$

то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^nc_n$   сходится.

Нам, правда, надо писать первое условие начиная с  $c_6,$ но это не мешает пользоваться признаком Лейбница: $c_6 > c_7 > \ldots.$

Итак, начинаем проверять условия признака Лейбница. Пусть n>5; надо доказать, что $c_n > c_{n+1}.$ Для этого рассмотрим разность

$c_n-c_{n+1}=\dfrac{1}{n-5}-\dfrac{1}{n-4}=\dfrac{(n-4)-(n-5)}{(n-5)(n-4)}=\dfrac{1}{(n-5)(n-4)} > 0\Rightarrow$

                                              $c_n > c_{n+1}.$

Теперь доказываем, что предел $c_n$ равен нулю:

                            $\lim\limits_{n\to \infty}c_n=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n-5}=\dfrac{1}{\infty}=0.$

Вывод: по признаку Лейбница наш ряд сходится.