Question

Преобразуйте вырожение
Ctg15°-tg75

​

Answer 1

Используем тангенс разности

ctg 15° - tg 75° = 1/tg 15° - tg 75°

Заметим, что tg 75° = tg (45° + 30°) = (tg 45° + tg 30°)/(1 - tg 45° * tg 30°) = (1 + √3/3)/(1 - √3/3) = (3 + √3)/(3 - √3)

А tg 15° = 1/ctg 15° = 1/tg (90° - 15°) = 1/tg 75°

Подставим полученные значения в исходное выражение и воспользуемся формулой тангенса разности:

ctg 15° - tg 75° = 1/tg 15° - tg 75° = 1/(tg 75°) - tg 75° = (1 - tg^2 75°)/(tg 75°) = ((1 - (3 + √3)^2/(3 - √3)^2) / ((3 + √3)/(3 - √3)))

Вычислим числитель:

1 - (3 + √3)^2/(3 - √3)^2 = (3 - √3)^2 - (3 + √3)^2 / (3 - √3)^2 = -12√3 / (3 - √3)^2

Подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

((1 - (3 + √3)^2/(3 - √3)^2) / ((3 + √3)/(3 - √3))) = (-12√3 / (3 - √3)^2) / ((3 + √3)/(3 - √3)) = -12√3 / (3 + √3) = -12√3 * (3 - √3)/(3 + √3) * (3 - √3) = -12√3 * (9 - 3√3) / 6 = -6(9√3 - 3*3) = -18√3