Question

Геометрия даю 100 баллов​

Answer 1

Ответ:

3. Площадь основания равна 4 см².

4. Площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды равна 72 см².

Объяснение:

3. Найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, высота которой составляет √2 см, если ее апофема равна √3 см.

4. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если ее боковое ребро равно 5 см, а стороны оснований составляют 3 см и 9 см.

3. Дано: KABCD - правильная четырехугольная пирамида;

КО = √2 см - высота; КН = √3 см - апофема.

Найти: Sосн.

Решение:

Соединим Н и О.

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, а боковые грани - равнобедренные треугольники.

Рассмотрим Δ DKC - равнобедренный.

КН ⊥ DC (KH - высота)

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ DH = HC.

Рассмотрим ΔОКН - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

OH² = KH² - OK² = 3 - 2 = 1   ⇒ OH = 1 см.

Рассмотрим ΔАСD.

DH = HC

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ОС

⇒ ОН - средняя линия.

• Средняя линия равна половине стороны, которую она не пересекает.

⇒ AD = 2 · 1 = 2 (см)

• Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

⇒ S осн. = 2² = 4 (см²)

Площадь основания равна 4 см².

4. Дано: АВСA₁B₁C₁ - правильная треугольная усеченная пирамида.

АА₁ = 5 см; А₁С₁ = 3 см; АС = 9 см.

Найти: S бок.

Решение:

• В правильной треугольной усеченной пирамиде основания - правильные треугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции.

⇒ АА₁С₁С - равнобедренная трапеция.

Проведем высоту А₁Н.

• Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции к большему основанию, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.

⇒  АН = (АС - А₁С₁) : 2 = (9 - 3) : 2 = 3 (см)

Рассмотрим ΔАА₁Н - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

А₁Н² = АА₁² - АН² = 25 - 9 = 16   ⇒  А₁Н = 4 см.

• Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна:

                S бок. = 1/2 (Р₁ + Р₂) · l ,

где Р₁ и Р₂ - периметры оснований, l - апофема.

Р₁ = 3 · 3 = 9 (см);   Р₂ = 9 · 3 = 27 (см)

S бок. = 1/2 (9 + 27) · 4 = 72 (см²)

Площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды равна 72 см².

Answer 2

Ответ:

3) 4 см²;

4) 72 см².

Объяснение:

задание 3.

найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, высота которой составляет √2 см, если ее апофема равна √3 см.

___________________________________

дано:

ABCD - правильная четырехугольная пирамида;

FG=√2 см - высота;

FH=√3 см - апофема.

найти:

$S_{OCH}$ - ? (см²)

___________________________________

решение:

• $\boxed{!}$  правильная четырехугольная пирамида - многогранник, состоящий из четырех боковых граней - равнобедренных треугольников, равных между собой, и из основания - правильного четырехугольника (квадрата).

• $\boxed{!}$  высота правильной четырехугольной пирамиды проецируется в центр ее основания.

• $\boxed{!}$  апофема правильной четырехугольной пирамиды - высота ее боковой грани.

пусть ABCDF - правильный четырехугольная пирамида, FG - ее высота, FH - ее апофема.

• рассмотрим треугольник FHG, он прямоугольный, поскольку FG - высота пирамиды. по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следовательно, FH²=FG²+GH² ⇒ $\boldsymbol{ GH=\sqrt{FH^2-FG^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2- (\sqrt{2})^2} =\sqrt{3-2}=\sqrt{1} =1~~ cm.}$

• рассмотрим треугольник BGC, он равнобедренный, поскольку диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. тогда GH - высота данного треугольника, и, поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, AB=2*GH=2*1=2 см.

• найдем площадь квадрата - основания правильной четырехугольной пирамиды, она равна квадрату его стороны: $\boldsymbol{S_{ABCD}=AB^2=2^2=4~~ cm^2.}$

ответ: площадь основания правильной четырехугольной пирамиды составляет 4 см².

задание 4.

найти площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если ее боковое ребро равно 5 см, а стороны оснований составляют 3 см и 9 см.

___________________________________

дано:

ABCA₁B₁C₁ - правильная треугольная усеченная пирамида;

A₁A=5 см - боковое ребро усеченной пирамиды;

AB=9 см - сторона нижнего основания;

A₁B₁ = 3 см - сторона верхнего основания.

найти:

$\displaystyle S_{bok}_{_{(ABCA_1B_1C_1)}}$ - ? (см²)

___________________________________

решение:

• $\boxed{!}$  правильная треугольная пирамида - многогранник, состоящий из трех боковых граней - равнобедренных треугольников, равных между собой, и из основания - правильного треугольника.

• $\boxed{!}$  правильная усеченная треугольная пирамида - многогранник, являющийся нижней частью полной правильной треугольной пирамиды, образовавшейся в результате среза вершины данной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

• пусть ABCD - правильная треугольная пирамида, A₁B₁C₁ - плоскость, параллельная основанию и отсекающая вершину D данной пирамиды. тогда АА₁=5 см - боковое ребро усеченной пирамиды, AB=9 см и A₁B₁=3 см - стороны ее оснований.

• рассмотрим боковую грань усеченной пирамиды - равнобедренную трапецию AA₁B₁B. проведем равные высоты A₁H и B₁H₁ (они равны апофеме усеченной пирамиды), тогда прямоугольные треугольники A₁HA и B₁BH₁ равны по гипотенузе и острому углу (AA₁=BB₁ как боковые стороны равнобедренной трапеции, ∠A₁AH = ∠B₁BH₁ как углы при основании равнобедренной трапеции), следовательно, AH=H₁B как соответствующие элементы равных треугольников. тогда $\boldsymbol{AH=\dfrac{AB-A_1B_1}{2} =\dfrac{9-3}{2} =6/2=3~~cm.}$

• найдем апофему HA₁ усеченной пирамиды. рассмотрим треугольник A₁HA. по теореме Пифагора, $AA_1^2=AH^2+HA^2\Rightarrow HA_1=\sqrt{AA_1^2-AH^2} =\sqrt{(AA_1-AH)(AA_1+AH)} =\sqrt{(5-3)(5+3)} =\sqrt{2*8} =\sqrt{16} =4~~ cm.$

• площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды рассчитывается по формуле $\boxed{\tt\Large S_{bok}=\dfrac{P_1+P_2}{2} *h}$, где P₁ и P₂ - периметры оснований, h - апофема. подставляем: $\displaystyle S_{bok}_{_{_{ABCA_1B_1C_1}}}=\dfrac{P_{ABC}+P_{A_1B_1C_1}}{2}*HA_1=\dfrac{9*3+3*3}{\not2} * \not4=(27+9)*2=36*2=\bf72 ~~ cm^2$

ответ: площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды составляет 72 см².