Question

У розкладі ((х√х)-(1/х⁴))^n біноміальний коефіцієнт третього члена на 44 більше коефіцієнта другого. Знайти вільний член.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Общий член разложения бинома имеет вид:

C(n, k) * (x√x)^(n-k) * (-1/x^4)^k

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n!/(k!*(n-k)!).

Третий член разложения соответствует k=2, то есть:

C(n, 2) * (x√x)^(n-2) * (-1/x^4)^2

= C(n, 2) * x^(3(n-2)/2) * 1/x^8

= C(n, 2) * x^(3n/2 - 7/2)

Коэффициент при этом члене равен:

C(n, 2) = n! / (2! * (n-2)!) = n*(n-1)/2

Второй член разложения соответствует k=1, то есть:

C(n, 1) * (x√x)^(n-1) * (-1/x^4)^1

= C(n, 1) * x^(3(n-1)/2) * (-1/x^4)

= -C(n, 1) * x^(3n/2 - 5/2)

Коэффициент при этом члене равен:

-C(n, 1) = -n

Из условия задачи следует, что:

C(n, 2) - 44 = -n

n*(n-1)/2 - 44 = -n

n^2 - n - 88 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем:

n = (1 + sqrt(353))/2 или n = (1 - sqrt(353))/2

Так как n - целое число, то подходит только первый корень:

n = (1 + sqrt(353))/2

Теперь можно найти второй член разложения:

-C(n, 1) = -n = -(1 + sqrt(353))/2 ≈ -17,192

И величину свободного члена разложения:

(-1/x^4)^n = (-1)^n/x^(4n) = 1/x^(2n) = 1/x^(1 + sqrt(353))

Таким образом, величина свободного члена разложения равна приблизительно 1/x^(1 + sqrt(353)).