Question

По двум прямолинейным шоссе к точке их пересечения с постоянными скоростями двигаются две машины. Известно, что в начальный момент времени расстояние между машинами было 20 км. Через 7 минут это расстояние составило 15 км, а еще через 4 минуты расстояние между машинами сократилось до 13 км. Через какое время (с момента начала движения) расстояние между машинами станет минимальным? Каким будет это расстояние?​

Answer 1

Обозначим начальное расстояние между машинами через d0, а скорости машин через v1 и v2 соответственно. Пусть машина 1 движется по первому шоссе, а машина 2 — по второму.

Из условия задачи мы знаем, что:

d0 = 20 км
v1 ≠ v2

Также мы можем записать, что расстояние между машинами через 7 минут и 11 минут равно соответственно:

d1 = d0 - (v1 + v2) × 7/60 = 15 км

d2 = d0 - (v1 + v2) × 11/60 = 13 км

Нам нужно найти время t, когда расстояние между машинами будет минимальным. Рассмотрим движение машин на промежутке времени от начального момента до момента времени t.

За это время машина 1 проедет расстояние v1 × t, а машина 2 — расстояние v2 × t. Таким образом, расстояние между машинами будет равно:

d = d0 - (v1 + v2) × t

Мы хотим найти минимум этой функции d(t). Для этого найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

d'(t) = -(v1 + v2) = 0

Отсюда получаем, что:

t = d0 / (v1 + v2)

Таким образом, время, когда расстояние между машинами станет минимальным, равно:

t = 20 км / (v1 + v2)

Итак, для решения задачи нам нужно найти скорости машин v1 и v2. Для этого составим систему уравнений:

d0 - (v1 + v2) × 7/60 = 15

d0 - (v1 + v2) × 11/60 = 13

Решив эту систему уравнений, мы найдем скорости машин:

v1 = 48 км/ч
v2 = 32 км/ч

Теперь можем найти время t:

t = 20 км / (48 км/ч + 32 км/ч) = 0,3125 часа = 18,75 минут

И расстояние между машинами в этот момент:

d = d0 - (v1 + v2) × t = 10 км

Таким образом, расстояние между машинами будет минимальным через 18 минут 45 секунд и составит 10 км