Question

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций​

Answer 1

Ответ:

Объём тела, образованного  вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции равен  

      $\bf \displaystyle V_{ox}=\pi \int\limits^a_b\, y^2(x)\, dx$    

$\bf y=2x\ ,\ y=\dfrac{x}{2}\ \ ,\ \ xy=2\ ,\ x > 0$      

Точки пересечения графиков:  

$\bf y=2x\ ,\ xy=2\ \ \Rightarrow \ \ \ 2x^2=2\ ,\ x^2=1\ ,\ x=\pm 1\\\\y=\dfrac{x}{2}\ \ ,\ \ xy=2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x^2}{2}=2\ \ ,\ \ x^2=4\ ,\ \ x=\pm 2$  

Область вращения заштрихована .

$\bf \displaystyle V_{ox}=\pi \int\limits_0^1\Big((2x)^2-\Big(\frac{x}{2}\Big)^2\Big)\, dx+\pi \int\limits_1^2\, \Big(\Big(\frac{2}{x}\Big)^2-\Big(\frac{x}{2}\Big)^2\Big)\, dx=\\\\\\=\pi \int\limits_0^1\Big(4x^2-\frac{x^2}{4}\Big)\, dx+\pi \int\limits_1^2\Big(\frac{4}{x^2}-\frac{x^2}{4}\Big)\, dx=\\\\\\=\pi \Big(\frac{4x^3}{3}-\frac{x^3}{12}\Big)\Big|_0^1+\pi \Big(-\frac{4}{x}-\frac{x^3}{12}\Big)\Big|_1^2=\pi \Big(\frac{4}{3}-\frac{1}{12}\Big)+\pi \Big(-2-\frac{8}{12}+4+\frac{1}{12}\Big)=$

$\bf \displaystyle=\pi \cdot \frac{4}{3}+\pi \Big(2-\frac{2}{3}\Big)=\frac{4}{3}\, \pi +\frac{4}{3}\, \pi =\frac{8}{3}\, \pi$