Question

у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. знайти бічну поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї дорівнює r

Answer 1

Апофема h, сторона основания 2x, боковые грани под углом b.

Боковые грани наклонены под равными углами - рассматриваем основание как проекцию боковой поверхности.

Sбок =Sосн/cosb

Апофема - высота/биссектриса/медиана боковой грани.

x/h =tg(a/2)

b - угол между основанием и апофемой

cosb =x/h =tg(a/2)

Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и на биссектрисе угла b.

x =r ctg(b/2)

$ctg^2\frac{\beta }{2}=\frac{1+cos\beta }{1-cos\beta } =\frac{1+tg\frac{\alpha}{2} }{1-tg\frac{\alpha}{2} }$

$S=\frac{4x^2}{cos\beta } =\frac{4r^2}{tg\frac{\alpha }{2} } .\frac{1+tg\frac{\alpha }{2} }{1-tg\frac{\alpha}{2}}=4r^2. \frac{1+ctg\frac{\alpha }{2} }{1-tg\frac{\alpha }{2} }$