Question

Помогите с решением пожалуйста интеграл ​

Answer 1

Ответ:

15)  Применяем универсальную тригонометрическую подстановку .

$\displaystyle \bf \int \frac{dx}{5-4sinx+3cosx}=\\\\\\=\Big[\ t=tg\frac{x}{2}\ ,\ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\ ,\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\ ,\ dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{5-4\cdot \dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\, dt}{5+5t^2-8t+3-3t^2}=\\\\\\=\int \frac{2\, dt}{2t^2-8t+8}=\int \frac{dt}{t^2-4t+4}=\int \frac{dt}{(t-2)^2}=\int (t-2)^{-2}\, dt=$  

$\bf \displaystyle =\frac{(t-2)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{t-2}+C=-\frac{1}{tg\dfrac{x}{2}-2}+C$        

17)  В числителе выделяем cosx , чтобы записать выражение cosx dx  как  дифференциал  d(sinx)  .

$\bf \displaystyle \int \frac{cos^5x}{\sqrt[3]{\bf sinx}}\, dx=\int \frac{(cos^2x)^2\cdot cosx\, dx}{\sqrt[3]{\bf sinx}}=\\\\\\=\Big[\ t=sinx\ ,\ dt=cosx\, dx\ ,\ cos^2x=1-sin^2x\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{(1-t^2)^2\cdot dt}{\sqrt[3]{\bf t}}=\int (1-t^2)^2\cdot t^{^{-\frac{1}{3}}}\, dt=\int (1-2t^2+t^4)\cdot t^{^{-\frac{1}{3}}}\, dt=$  

$\displaystyle \bf =\int \Big(t^{^{-\frac{1}{3}}}-2\, t^{^{\frac{5}{3}}}+t^{^{\frac{11}{3}}}\Big)\, dt=\frac{t^{^{\frac{2}{3}}}}{2/3}-\frac{2\, t^{^{\frac{8}{3}}}}{8/3}+\frac{t^{^{\frac{14}{3}}}}{14/3}+C=\\\\\\=\boldsymbol{\frac{3\, \sqrt[3]{\bf sin^2x}}{2}-\frac{3\sqrt[3]{\bf sin^{8}x}}{4}+\frac{3\sqrt[3]{\bf sin^{14}x}}{14}+C}$