Question

Помогите с решением пожалуйста
интеграл (сложные для меня)​

Answer 1

Ответ:

Применяем метод замены переменных .

$\bf \displaystyle 3)\ \ \int \frac{1-2\sqrt{x}}{1+2\sqrt{x}}\, dx=\Big[\ t=\sqrt{x}\ ,\ x=t^2\ ,\ dx=2t\, dt\ \Big]=\int \frac{(1-2t)2t\, dt}{1+2t}=\\\\\\=\int \frac{2t-4t^2}{1+2t}\, dt=\int \Big(2-2t-\frac{2}{2t+1}\Big)\, dt=\int \Big(2-2t-\frac{1}{t+0,5}\Big)\, dt=\\\\\\=2t-2\cdot \frac{t^2}{2} -ln|t+0,5|+C=2\sqrt{x} -x-ln|\sqrt{x} +0,5|+C$

Для решения следующих примеров надо хорошо знать производную функции  .

Обозначаем новой переменной  t  функцию, от которой видим производную под знаком интеграла .  

$\bf \displaystyle 4)\ \ \int \sqrt[3]{\bf arccos\, x}\cdot \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=\Big[\ t=arccos\, x\ ,\ dt=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\ \Big]=\\\\\\=-\int \sqrt[3]{\bf t}\, dt=-\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}}+C=-\frac{3\sqrt[3]{\bf arccos^4x}}{4}+C$  

$\bf \displaystyle 5)\ \ \int \frac{dx}{cos^2x\cdot \sqrt[3]{\bf (2+3\, tgx)^2}}\, dx=\Big[\ t=2+3\, tgx\ ,\ dx=\frac{3}{cos^2x}\, dt\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt[3]{\bf t^2}}=\frac{1}{3}\int t^{^{-\frac{2}{3}}}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{\frac{1}{3}}}{\dfrac{1}{3}}+C=\sqrt[3]{\bf 2+3\, tgx}+C$  

$\bf \displaystyle 6)\ \ \int tg\, ax\cdot \frac{dx}{cos^2\, ax}\, dt=\Big[\ t=tg\, ax\ ,\ dx=\frac{a\, dx}{cos^2\, ax}\ \Big]=\frac{1}{a}\int t\cdot dt=\\\\\\=\frac{1}{a}\cdot \frac{t^2}{2}+C=\frac{tg^2\, ax}{2a}+C$