Question

(x-y)dy-ydx=0 найдите решение дифференциального уравнения

Answer 1

$\left(x-y\right)\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=0\Leftrightarrow \left(x-y\right)\,\mathrm{d}y=y\,\mathrm{d}x\overset{u=y/x}{\Leftrightarrow }\\\Leftrightarrow \left(1-u\right)\,x\,\left(u\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}u\right)=u\,x\,\mathrm{d}x\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow -{u}^{2}\,x\,\mathrm{d}x+u\,x\,\mathrm{d}x-u\,{x}^{2}\,\mathrm{d}u+{x}^{2}\,\mathrm{d}u=u\,x\,\mathrm{d}x\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow -{u}^{2}\,x\,\mathrm{d}x-u\,{x}^{2}\,\mathrm{d}u+{x}^{2}\,\mathrm{d}u=0\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \left(1-u\right)\,x\,\mathrm{d}u-{u}^{2}\,\mathrm{d}x=0\Leftrightarrow \left(1-u\right)\,x\,\mathrm{d}u={u}^{2}\,\mathrm{d}x\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow -\dfrac{\left(u-1\right)\,\mathrm{d}u}{{u}^{2}}=\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\Leftrightarrow -\int{\dfrac{u-1}{{u}^{2}}}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{1}{x}}{\;\mathrm{d}x}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \ln\left(\frac{y}{x}\right)+\dfrac{x}{y}=c_1-\ln\left(x\right)\Rightarrow y=-\frac{x}{\mathrm{W}\left ( -xc_1 \right )}$

$\mathrm{W}$ - функция Ламберта