Question

Допоможіть Генії математиці будь-ласка!!!!!!!!!!!! За докладне, повне розв'язування 100 баллів і коронка.

Треба знайти приватне рішення диференціальне рівняння y"-2y'=x^2-1 задовольняючи наступне умови y(0)=0 y'(0)=9/4

Answer 1

Для знаходження приватного розв'язку диференціального рівняння потрібно спочатку знайти загальний розв'язок, а потім використовувати початкові умови, щоб знайти конкретне рішення, що задовольняє ці умови. Для розв'язання диференціального рівняння y"-2y'=x^2-1 використаємо метод варіації сталих.

Знайдемо загальний розв'язок спряженого однорідного рівняння y"-2y'=0. Його характеристичне рівняння має вигляд:
r^2 - 2r = 0,

з якого маємо два корені: r1=0 та r2=2.

Отже, загальний розв'язок спряженого однорідного рівняння має вигляд:

y_c(x) = c1 + c2*e^(2x),

де c1 та c2 - це довільні константи.

Знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння y"-2y'=x^2-1 методом варіації сталих. Для цього побудуємо загальний розв'язок рівняння y"-2y'=Ax^2+Bx+C, де A, B, C - деякі константи. Цей загальний розв'язок має вигляд:
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.

Знайдемо похідні другого порядку від частинного розв'язку:
y_p''(x) = 2A,