Найдите критические точки функции у = f(х). Выясните, какие из этих точек являются: 1) точками минимума; 2) точками максимума: 1. f(x)=-x⁴+0,5x²+1
2. f(x)=-2x⁴+x²-1
Ответы
Для нахождения критических точек функции нужно решить уравнение f'(x) = 0, где f'(x) - производная функции.
В данном случае, функция f(x) имеет вид:
f(x)=-x⁴+0,5x²+1
Тогда ее производная f'(x) равна:
f'(x)=-4x³+x
Для нахождения критических точек решим уравнение f'(x) = 0:
-4x³+x = 0
x(1-4x²) = 0
Таким образом, критическими точками функции f(x) являются x=0, x=1/2 и x=-1/2.
Теперь необходимо выяснить, какие из этих точек являются точками минимума, а какие - максимума.
Для этого рассмотрим знак производной f'(x) на интервалах между критическими точками:
На интервале (-∞, -1/2) производная f'(x) отрицательна (знак "минус"), на интервале (-1/2, 0) - положительна (знак "плюс"), на интервале (0, 1/2) - снова отрицательна, а на интервале (1/2, +∞) - положительна.
Таким образом, критическая точка x=-1/2 является точкой максимума функции f(x), а точки x=0 и x=1/2 - точками минимума.
Ответ:
Критические точки функции f(x) равны x=0, x=1/2 и x=-1/2.
Точка x=-1/2 является точкой максимума функции f(x), а точки x=0 и x=1/2 - точками минимума.