Один из спутников Сатурна отстоит от центра планеты на 185 000 км и имеет период обращения 0,94 суток. Найдите массу Сатурна.
Ответы
Ответ: Масса Сатурна ≈ 5,6779*10^26 кг.
Объяснение: Из закона Всемирного тяготения следует, что ускорение свободного падения на расстоянии R от центра планеты массой М определяется выражением:
g = G*M/R² ----------- (1)
С другой стороны это ускорение будет являться центростремительным ускорением для спутника планеты, обращающегося вокруг планеты на расстоянии R от центра планеты. Центростремительное ускорение, как известно, определяется выражением:
а = V²/R _______ (2)
Таким образом, можно записать уравнение: g = а,
или G*M/R² = V²/R. После сокращения имеем:
V² = G*M/R ----------- (3)
Линейную скорость спутника на удалении R от центра планеты можно найти по формуле:
V = 2πR/Т _______ (4)
здесь Т – время одного оборота спутника вокруг планеты.
Подставив выражение (4) в выражение (3), имеем
4π²R²/Т² = G*M/R ______(5)
Из последнего выражения:
М = 4π²R³/GТ² ______ (6)
Дано:
Расстояние спутника от центра Сатурна R = 185000 км =
= 1,85*10^8 м
Время одного оборота спутника вокруг Сатурна Т = 0,94 суток = 0,94*24*60*60 = 81216 секунд.
Гравитационная постоянная G = 6,6743*10^-11 м^3,с^-2, кг^-1
Найти массу Сатурна М - ?
Выше было показано, что массу Сатурна можно найти по формуле М = 4π²R³ /GТ². Подставив числовые значения параметров имеем: М = 4π²*(1,85*10^8)³/6,6743*10^-11*(81216)² =
= 4π²* 6,331625*10^24/0,440239408... ≈ 5,6779*10^26 кг.