Question

Помогите пожалуйста с решением ​

Answer 1

Решение.

1) Сначала упрощаем подынтегральное выражение.

$\bf \displaystyle \int (\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})\, dx=\int (x^{^{\frac{5}{6}}}+x^{^{\frac{7}{12}}}-x^{^{\frac{1}{2}}}-x^{^{\frac{1}{4}}})\, dx=\\\\\\=\frac{x^{^{\frac{11}{6}}}}{11/6}+\frac{x^{^{\frac{19}{12}}}}{19/12}-\frac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{3/2}-\frac{x^{^{\frac{5}{4}}}}{5/4}+C=\frac{6\, x^{^{\frac{11}{6}}}}{11}+\frac{12\, x^{^{\frac{19}{12}}}}{19}-\frac{2\, x^{^{\frac{3}{2}}}}{3}-\frac{4\, x^{^{\frac{5}{4}}}}{5}+C$

2)  Подведение под знак дифференциала .

$\bf \displaystyle \int e^{-(x^2+1)}\, x\, dx=\int e^{-x^2-1}\cdot \frac{d(-x^2-1)}{-2}=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2-1}+C=e^{-(x^2+1)}+C\\\\\\{}\ \ \star \ \ d\, (-x^2-1)=(-x^2-1)'\, dx=-2x\, dx\ \ \star$