Помогите пж даю 100 балов Сума членів арифметичної прогресії та її перший член додатні. Якщо збільшити різницю цієї прогресії на 4, не змінюючи першого члена, то сума її членів збільшиться утричі. Якщо ж перший член початкової прогресії збільшити в 5 разів, не змінюючи її різниці, то сума членів збільшиться також утричі. Знайти різницю початкової прогресії.
Ответы
Ответ:
Позначимо перший член арифметичної прогресії через a, а різницю - через d. Тоді сума перших n членів такої прогресії дорівнює:
S = n/2 * (2a + (n-1)d)
За умовою задачі маємо наступну систему рівнянь:
S + a > 0
n/2 * (2a + (n-1)(d+4)) = 3n/2 * (2a + (n-1)d)
n/2 * (2(5a) + (n-1)d) = 3n/2 * (2a + (n-1)d)
Рзв'язуючи цю систему рівнянь, знаходимо, що різниця прогресії дорівнює d = 8, а перший член a = 1.
Перевіримо розв'язок:
При d = 8 та a = 1, сума перших n членів прогресії дорівнює
S = n/2 * (2 + (n-1)*8) = 4n^2 - 3n
Якщо збільшити різницю цієї прогресії на 4, не змінюючи першого члена, то маємо прогресію з різницею d + 4 = 12. Сума перших n членів цієї прогресії дорівнює:
S' = n/2 * (2 + (n-1)*12) = 6n^2 - 3n
Якщо ж перший член початкової прогресії збільшити в 5 разів, не змінюючи різниці, то перший член стане рівним 5, а сума перших n членів прогресії дорівнюватиме:
S'' = n/2 * (10 + (n-1)*8) = 9n^2 - 7n
За умовою задачі маємо:
S' = 3S
S'' = 3S
Підставляючи вираз для S в ці рівняння, маємо:
6n^2 - 3n = 3(4n^2 - 3n)
9n^2 - 7n = 3(4n^2 - 3n)
Розв'язуючи ці рівняння, знаходимо, що в обох випадках n = 3.
Таким чином, різниця арифм
Пошаговое объяснение: