Question

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
a) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

Answer 1

a). Т.к. ∠C₁ = ∠B₁ = 90°, около AC₁HB₁ можно построить окружность.

Проведём C₁B₁.

∠AC₁B₁ = ∠AHB₁, т.к. они – вертикальные и опираются на ◡AB₁.

∠AC₁B₁ + ∠BC₁B₁ = 180° как смежные.

Т.к. ∠BC₁C = ∠BB₁C = 90°, около BCB₁C₁ можно провести окружность.

∠BCB₁ + ∠BC₁B₁ = 180°, т.к. это – противоположные углы вписанного BCB₁C₁.

∠BCB₁ = ∠ACB = 180° - ∠BC₁B₁ = ∠AC₁B₁ = ∠AHB₁.

∠ACB = ∠AHB₁. Доказано.

б). ∠C₁AB₁ + ∠C₁HB₁ = 180° как противоположные углы вписанного AC₁HB₁.

Значит, ∠C₁HB₁ = 180° - ∠C₁AB₁ = 120°.

∠BHC = ∠C₁HB₁ = 120° – как вертикальные.

Построим окружность около △ABC.

∠BHC = 2∠BAC, значит H - центр окружности, описанной около △ABC.

AH = HB = HC как радиусы.

BC² = HB² + HC² – 2HB*HC*cos∠BHC - по теореме косинусов.

BC² = 16 + 16  - 2*16*(-1/2) = 16 + 16 + 8 = 48

BC = √48 = 4√3

Ответ: 4√3.