Question

Вычислите определенный интеграл, не получается.

Answer 1

Ответ:

Применяем тригонометрическую подстановку   $\bf x=a\, sint$  для

интегралов вида  $\bf \displaystyle \int \, R(x,\sqrt{a^2-x^2}\ )\, dx$  .

$\bf \displaystyle \int \limits _0^{\sqrt6}\sqrt{6-x^2}\, dx=\Big[\ x=\sqrt6\, sint ,\ dx=\sqrt6cost\, dt\ ,t_1=0\ ,\ t_2=\frac{\pi }{2}\ \Big]=\\\\\\=\int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\, \sqrt{6-6sin^2t}\cdot \sqrt6\, cost\, dt=\int\limits_9^{\frac{\pi }{2}}\, \sqrt{6\, (1-sin^2t)} \cdot \sqrt6\, cost\, dt=\\\\\\=\int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{cos^2t}\cdot 6\, cost\, dt=6\int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\, cos^2t\, dt=6\int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+cos2t}{2}\, dt=$  

$\bf \displaystyle =3\int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}(1+cos2t)\, dt=3\Big(t+\frac{1}{2}\cdot sin2t\Big)\Big|_0^{\frac{\pi }{2}}=3\Big(\frac{\pi }{2}+0\Big)=\dfrac{3\pi }{2}$