Question

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АС в точке М. Найдите периметр треугольника, если АМ = 4, МС = 10, a LABC = 60°​

Answer 1

Используя свойства радиуса вписанной окружности и т. Пифагора для треугольника АМВ и треугольника МСВ, найдем значения r, AB и BC:

r = MV = (AM + MC - AC)/2 = (4 + 10 - AB)/2 = (14 - AB)/2

AB = 2r + AC = 2r + 14

BC = 2r + AB = 4r + 14

P = AB + BC + AC

P = (2r + 14) + (4r + 14) + 14 = 6r + 42

Найдем значение r по теореме косинусов для треугольника АВС:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABCcos(60)

14^2 = (2r+14)^2 + (4r+14)^2 - (2r+14)*(4r+14)

Решая это уравнение, получаем r = 2.

Итак, периметр треугольника равен:

P = 6r + 42 = 6*2 + 42 = 54.

Ответ: 54.