Question

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущен перпендикуляр CD на гипотенузу АB, и на нем как на диаметре построена окружность. B окружности проведена хорда МN, соединяющая точки пересечения окружности с катетами треугольника а) Определить MN, если АС = 15 см, а ВС=20 см б) Доказать, что ДМС ∆АВС. в) Доказать, что MN=​

Answer 1

Ответ:

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, где ∠С = 90°

Опущен перпендикуляр CD на гипотенузу AB

Построена окружность с диаметром CD

В окружности проведена хорда MN

а) Найдем длину хорды MN:

Пусть O - центр окружности, тогда OD - радиус окружности, а CD - диаметр, значит OD = CD / 2.

Так как треугольник ACD подобен треугольнику ABC, то:

AD/AB = AC/BC

AD/BC = AC/AB

Заметим, что треугольник AOD также подобен треугольнику ABC, поскольку ∠AOD = ∠ABC и ∠ODA = ∠CAB. Таким образом:

AD/AB = OD/BC

Следовательно,

OD = AD * BC / AB

Так как AC = 15 и BC = AB - AC = 20 - 15 = 5, то AD = CD - AC = 2OD - AC. Заменяем в формуле выше и получаем:

OD = 15 / 2 = 7.5

AD = 2OD - AC = 5

Теперь воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах, которая гласит:

AM * MB = CM * MD

Так как OD - радиус, то CM = MD = OD = 7.5. Значит:

AM * MB = 7.5 * 7.5

AM * MB = 56.25

Но AM = AD = 5, значит

5 * MB = 56.25

MB = 11.25

Таким образом, MN = 2MB = 22.5 см.

б) Чтобы доказать, что DMSC - прямоугольник, нужно показать, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Очевидно, что DM и SC - диагонали параллелограмма DMSC, и мы знаем, что MD = SC = OD. Значит, треугольник SOD равнобедренный, и ∠SOD = ∠ODS. Также ∠ODA = ∠CAB, поскольку AOD подобен ABC. Отсюда следует, что ∠MDS = ∠ODS - ∠ODM = ∠SOD - ∠OAD = ∠CAB - ∠ABC = 90°, так как ∠ABC + ∠CAB = 90°.

Таким образом, DMSC - прямоугольник.

в) Так как DMSC - прямоугольник, то MN параллельна его сторонам DM и SC. Значит, MN перпендикулярна на его диагонали DS, поскольку DS - пря