Знайдіть m i n, якщо: а) точка М(м; 1) переходить у точку N(n; 4) при повороті навколо точки 0(0; 0) на кут 90° за годинниковою стрілкою; б) точка E(-4; m) переходить у точку F(3; n) при повороті навколо точки Р(1; 4) на кут 90° проти годинникової стрілки.
Даю максимально балів
Ответы
а) при повороті на 90° за годинниковою стрілкою координати точки М (м; 1) перетворюються за формулами:
x' = y, y' = -x,
де (x, y) - початкові координати точки, А (x', y') - координати цієї точки після обертання.
Застосовуючи ці формули, отримуємо:
x' = 1, y' = -m
Точка N (n; 4) виходить в результаті такого повороту. Значить, маємо систему рівнянь:
n = 1, 4 = -m
Звідси знаходимо, що m = -4, n = 1.
б) при повороті на 90° проти годинникової стрілки щодо точки Р (1; 4) координати точки E (-4; m) перетворюються за формулами:
x' = (x - a) * cos(a) - (y - b) * sin(a) + a,
y' = (x - a) * sin(a) + (y - b) * cos(a) + b,
де (x, y) - початкові координати точки, (A, B) - координати центру повороту, а а - кут повороту в радіанах.
Підставляємо відомі значення і отримуємо систему рівнянь:
(1 - (-4)) * cos(pi/2) - (m - 4) * sin(pi/2) + 1 = 3,
(1 - (-4)) * sin(pi/2) + (m - 4) * cos(pi/2) + 4 = n.
Враховуючи, що cos (pi/2) = 0 і sin (pi/2) = 1, спрощуємо систему:
5 + m = 3,
1 - 5 + n = m.
Звідси знаходимо, що m = -2, n = -6.
Таким чином, мінімальне значення змінної дорівнює -6