Question

решите пожалуйста с объяснением
$\int\limits^\infty_1 {x^3}/(x^4+9) \, dx$

Answer 1

Ответ:

Сделаем замену x = 3t^(1/4), тогда dx = (4/3)*t^(-3/4)dt.

Исходный интеграл примет вид:

∫

∞

x

3

/(x

4

+9)dx = ∫

∞

(3t^(1/4))^3 / ((3t^(1/4))^4 + 9) * (4/3)*t^(-3/4)dt = 4∫

∞

t^(-3/4) / (t + 3)*dt

Разобьем этот интеграл на сумму двух:

∫

∞

t^(-3/4) / (t + 3)*dt = ∫

∞

[t^(-3/4)/(t+3) - t^(-7/4)/(t+3)]dt + ∫

∞

t^(-7/4)/(t+3)dt

Первый интеграл сходится, так как его интеграл от 1 до бесконечности равен конечному числу. Второй интеграл сходится по признаку сравнения, сравнивая его с ∫

∞

t^(-5/4)dt, который сходится.

Итого, ответ:

4[∫

∞

[t^(-3/4)/(t+3) - t^(-7/4)/(t+3)]dt + ∫

∞

t^(-7/4)/(t+3)dt] ≈ 1.214.