Question

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением: Вычислить дифференциальное уравнение методом Лагранжа и Бернулли:
y'+2y/x=x³ y(1)= -5/6
​

Answer 1

Відповідь:

Для решения данного дифференциального уравнения методом Лагранжа необходимо сначала вычислить производную относительно переменной x от левой и правой частей уравнения:

y' + 2y/x = x³

(y' + 2y/x)' = (x³)'

y'' - 2y/x² + 2y/x² = 3x²

y'' = 2y/x² - 3x²

Затем заменяем в полученном уравнении y'' на u и x на t:

u = 2y/t² - 3t²

t = e^s

Используя цепное правило дифференцирования, находим производные:

u' = (2y'/t²) - (4y/t³) - 6t

u'' = (2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6

Подставляем найденные производные в выражение для u'' и получаем дифференциальное уравнение Лагранжа:

(2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6 = 0

Для решения уравнения методом Бернулли необходимо сначала привести его к виду, когда он содержит произведение y и y'. Для этого умножаем обе части уравнения на x²:

x² y' + 2x y = x⁵ y

Переносим все члены, содержащие y, в левую часть, а все члены, содержащие y', в правую часть:

x² y' - x⁵ y = -2x y

Домножаем обе части уравнения на x^(-5) и заменяем y' на dy/dx:

y'/y = -2/x + 1/x³

Умножаем обе части уравнения на y³:

y³ y'/y = -2y²/x + y²/x³

Проводим замену u = y² и заменяем y' на du/dx:

u' = -4x⁻¹ u + 2x⁻³ u

Делаем замену t = x² и находим производные:

u' = (du/dt)(dt/dx) = 2x u'

u'' = (d²u/dt²)(dt/dx)² + (du/dt)(d²t/dx²)

Подставляем найденные производные и связываем их с начальным уравнением:

2x u' = -8t⁻¹ u + 4t⁻³ u

2x u'' = -8t⁻¹ u' - 8t⁻² u + 4t⁻³ u'

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли принимает вид:

2x u'' + 8t⁻

Покрокове пояснення: