Площадь ромба меньше 15 см², но больше 8 см², а одна из его диагоналей на 1 см длиннее другой. Найдите длину меньшей диагонали этого ромба, если она выражена целым числом санти- метров.
помогитеее дам 10 баллов
Ответы
Пусть сторона ромба равна а, а меньшая диагональ b. Тогда, согласно свойствам ромба, другая диагональ будет длиной √(4a² - b²).
Условие задачи можно записать в виде неравенства:
8 < (b√(4a²-b²))/2 < 15
Умножим всю неравенство на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
16 < b√(4a²-b²) < 30
Возведем всё в квадрат:
256 < 4a²-b² < 900
Выразим b²:
4a²-900 < b² < 4a²-256
Так как одна диагональ на 1 см длиннее другой, то:
b = √(a²-1)
Подставим это выражение в неравенство:
4a²-900 < a²-1 < 4a²-256
2a² < 449 < 3a²
149.67 < a² < 149.67...
Так как a - это длина стороны ромба, то она должна быть выражена целым числом. Ближайшее целое, меньшее чем √149.67 - это 12.
Тогда, длина меньшей диагонали ромба равна:
b = √(a²-1) = √(144-1) = √143 ≈ 11.95 см.
Ответ: 11 см (длина меньшей диагонали выражена целым числом).
d1² = a² + a² = 2a²
d2² = (a/2)² + (a/2)² = a²/2
Площадь ромба равна (d1*d2)/2, поэтому:
(d1d2)/2 < 15
(d1d2)/2 > 8
Подставим d1² и d2² в первое неравенство:
(d1d2)/2 < 15
(d1²/2)(a²/2) < 15
d1²*a² < 60
Теперь подставим d1² и d2² во второе неравенство:
(d1d2)/2 > 8
(d1²/2)(a²/2) > 8
d1²*a² > 32
Объединим два неравенства:
32 < d1²*a² < 60
Диагональ d1 на 1 см длиннее другой диагонали, поэтому d1 = d2 + 1. Подставим это выражение в предыдущее неравенство и решим его относительно d2:
32 < (d2+1)²*a² < 60
32/a² < (d2+1)² < 60/a²
√(32/a²) < d2 + 1 < √(60/a²)
√32/a < d2 < √60/a - 1
Так как d2 - это половина диагонали, то меньшая диагональ равна d2*2. Подставим значения a и округлим до ближайшего целого числа:
d2*2 ≈ 2 * √32/a * 2 = 10 см
Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 10 см.