Question

Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи виділення повного квадрата у знаменнику підінтегрального виразу

Answer 1

Ответ:

1) Выделяем полный квадрат в знаменателе , получаем табличный интеграл.  

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2-8x+30} =\int \frac{dx}{2\, (x^2-4x+15)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x-2)^2+11}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-2)}{(x-2)^2+11}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{11}}\cdot arctg\frac{x-2}{\sqrt{11}} +C$

2)   Выделяем полный квадрат в знаменателе и разбиваем интеграл на два табличных .

$\bf \displaystyle \int \frac{2-x}{x^2+4x-3}\, dx=\int \frac{-(x-2)}{(x+2)^2-7}\, dx=-\int \frac{(x+2)-4}{(x+2)^2-7}\, dx=\\\\\\=-\int \frac{(x+2)\, dx}{(x+2)^2-7}+\int \frac{4\, dx}{(x+2)^2-7}=-\frac{1}{2}\int \frac{2(x+2)\, dx}{(x+2)^2-7}+\int \frac{4\, dx}{(x+2)^2-7}=\\\\\\=-\frac{1}{2}\int \frac{d((x+2)^2-7)}{(x+2)^2-7}+4\int \frac{dx}{(x+2)^2-7}=\\\\\\=-\frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, (x+2)^2-7\, \Big|+4\cdot \frac{1}{2\sqrt7}\cdot ln\Big|\, \frac{x+2-\sqrt7}{x+2+\sqrt7}\, \Big|+C=$

$\bf \displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, x^2+4-3\, \Big|+\frac{2}{\sqrt7}\cdot ln\Big|\, \frac{x+2-\sqrt7}{x+2+\sqrt7}\, \Big|+C$