Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1. a) Найдем вектор по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {-2 - 1; 4 - 3; -1 - 2} = {-3; 1; -3}
CA = {Ax - Cx; Ay - Cy; Az - Cz} = {1 - 1; 3 - 3; 2 - (-2)} = {0; 0; 4}
Найдем значение суммы (разности) векторов:
AB - 9·CA = {ABx - 9·CAx ; ABy - 9·CAy ; ABz - 9·CAz} = {(-3) - 9·0 ; 1 - 9·0 ; (-3) - 9·4} = {-3 - 0 ; 1 - 0 ; -3 - 36} = {-3 ; 1 ; -39};
б) Найдем вектор по координатам точек:
BC = {Cx - Bx; Cy - By; Cz - Bz} = {1 - (-2); 3 - 4; -2 - (-1)} = {3; -1; -1}
Найдем скалярное произведение векторов:
a · BC = ax · BCx + ay · BCy + az · BCz = (-3) · 3 + 1 · (-1) + (-39) · (-1) = - 9 - 1 + 39 = 29
в) Пр ba = ( a · b )/|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b=ax · bx + ay · by + az · bz =(-3) · 3 + 1 · (-1) +(-39) · (-1) =- 9 - 1 + 39 = 29
Найдем длину (модуль) вектора:
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(3² + (-1)² + (-1)²) = √(9 + 1 + 1) = √11
Пр ba = 29/√11 ≈ 8,7
г) Найдем вектор по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {-2 - 1; 4 - 3; -1 - 2} = {-3; 1; -3}
BC = {Cx - Bx; Cy - By; Cz - Bz} = {1 - (-2); 3 - 4; -2 - (-1)} = {3; -1; -1}
Найдем скалярное произведение векторов:
AB · BC = ABx · BCx + ABy · BCy + ABz · BCz = (-3) · 3 + 1 · (-1) + (-3) · (-1) = - 9 - 1 + 3 = -7
Найдем длину (модуль) вектора:
|AB| = √(ABx² + ABy² + ABz²) =√( (-3)² + 1² + (-3)²) = √( 9 + 1 + 9) = √19
|BC| = √(BCx²+ BCy² + BCz²) = √(3² + (-1)² + (-1)²) = √(9 + 1 + 1) = √11
Найдем угол между векторами:
cos α = AB · BC /|AB|·|BC|
cos α = -7/(√19 · √11) = - 7/ √209= -0.48
α = 118.9°
д) a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
=
i j k
-3 1 -39
3 -1 -1
= i (1·(-1) - (-39)·(-1)) - j ((-3)·(-1) - (-39)·3) + k ((-3)·(-1) - 1·3) = i (-1 - 39) - j (3 + -117) + k (3 - 3) = {-40; -120; 0}
e) Найдем вектор по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {-2 - 1; 4 - 3; -1 - 2} = {-3; 1; -3}
a · (b × AB) =
ax ay az
bx by bz
ABx ABy ABz
=
-3 1 -39
3 -1 -1
-3 1 -3
= (-3)·(-1)·(-3) + 1·(-1)·(-3) + (-39)·3·1 - (-39)·(-1)·(-3) - 1·3·(-3) - (-3)·(-1)·1 = -9 + 3 - 117 + 117 + 9 - 3 = 0
2. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
2 11 3
1 -6 -2
-3 5 1
1-ую строку делим на 2
1 5.5 1.5
1 -6 -2
-3 5 1
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 3
1 5.5 1.5
0 -11.5 -3.5
0 21.5 5.5
2-ую строку делим на -11.5
1 5.5 1.5
0 1 7
23
0 21.5 5.5
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 5.5; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 21.5
1 0 - 4
23
0 1 7
23
0 0 - 24
23
3-ую строку делим на - 24
23
1 0 - 4
23
0 1 7
23
0 0 1
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 4
23 ; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 7
23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ответ: Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi = 0
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = b
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
2 11 3 -1
1 -6 -2 1
-3 5 1 -2
Проверим образуют ли заданные вектора базис, для этого найдем определитель матрицы:
∆ =
2 11 3
1 -6 -2
-3 5 1
= 24
Так как определитель матрицы не равен нулю, то введеная система векторов является базисом.
Решим уравнение методом Гауса:
1-ую строку делим на 2
1 5.5 1.5 -0.5
1 -6 -2 1
-3 5 1 -2
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 3
1 5.5 1.5 -0.5
0 -11.5 -3.5 1.5
0 21.5 5.5 -3.5
2-ую строку делим на -11.5
1 5.5 1.5 -0.5
0 1 7
23 - 3 23
0 21.5 5.5 -3.5
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 5.5; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 21.5
1 0 - 4
23 5 23
0 1 7
23 - 3 23
0 0 - 24
23 - 16 23
3-ую строку делим на - 24
23
1 0 - 4
23 5 23
0 1 7
23- 3 23
0 0 1 2
3
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 4
23 ; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 7
23
1 0 0 1
3 0 1 0 - 1
3 0 0 1 2
3
Ответ: d = a /3 - b/3 + 2c/3