через точку а1 середину высоты sa треугольной пирамиды sabc провели сечение плоскостью параллельной плоскости основания пирамиды. найди площадь сечения если площадь треугольника abc равна 38
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Для начала найдем высоту пирамиды.
Очевидно, что треугольник sa1c подобен треугольнику abc, так как эти треугольники имеют два равных угла (угол a1sc соответствует углу asc, а угол с точкой a1 — это прямой угол, который соответствует углу с основанием). Значит, отношение соответствующих сторон равно отношению высот треугольников:
sa1/sa = a1c/ac
sa1/sa = 1/2 (так как точка a1 — это середина высоты sa)
Отсюда получаем:
sa1 = sa/2
Таким образом, высота s находится на расстоянии h = sa/2 от точки a1 (так как точка а1 — это середина высоты sa).
Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точку а1 и параллельную основанию. Пересечение этой плоскости с боковой гранью sabc даст нам треугольник a1bcd.
Этот треугольник подобен треугольнику abc, так как у них две пары соответственных углов (углы a1 и bcd — прямые, а углы abc и acd равны в силу параллельности плоскостей основания и сечения). Отношение соответствующих сторон равно отношению высот треугольников:
a1b/ab = a1c/ac = a1d/ad = h/sa
Отсюда получаем:
a1b = ab × h/sa
a1d = ad × h/sa
Так как точка а1 является серединой высоты sabc из вершины s, то можно заметить, что треугольник a1sd подобен треугольнику abc. Значит, отношение соответствующих сторон равно отношению высот:
a1s/as = a1d/ad = h/sa
Отсюда получаем:
a1s = as × h/sa
Теперь можно выразить площадь треугольника a1bcd через площадь треугольника abc:
S(a1bcd) = S(abc) × (a1b/ab) × (a1d/ad)
S(a1bcd) = 38 × (ab × h/sa)/ab × (ad × h/sa)/ad
S(a1bcd) = 19 × h^2/sa^2 × ab × ad
Так как sa^2 = ab^2 − (ab/2)^2 (теорема Пифагора для треугольника sab), то
S(a1bcd) = 19 × h^2 × ab × ad/(4(ab^2 − ab^2/4))
S(a1bcd) = 76 × h^2/3ab
Осталось выразить высоту h через площадь:
ab = 2S(abc)/sa (так как sa = 2S(abc)/ab)
h = 2S(sabc)/(sa × ab) = (sa/2) × 2S(abc)/(sa × ab) = (S(abc)/ab)
Теперь можем выразить площадь сечения через площадь треугольника abc:
S(сечения) = S(a1bcd) + S(a1sd)
S(сечения) = 76 × h^2/3ab + a1s × a1d/2
S(сечения) = 76 × (S(abc)/ab)^2/3ab + as × ad × h^2/sa^2 × 1/2
S(сечения) = 38 × (S(abc))^2/sa^2ab + as × ad × S(abc)/sa^2
Так как ab = 2S(abc)/sa, то
S(сечения) = 38 × (S(abc))^2/sa^3 + 2S(abc) × S(abc)/sa^3
S(сечения) = 40 × S(abc)/sa^2
Подставляя значение S(abc) = 38, получим:
S(сечения) = 40/4
S(сечения) = 10
Таким образом, площадь сечения равна 10.