Question

Помогите вычислить интеграл ​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\Large\int \dfrac{\mathrm{tg}\,x\;dx}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\,x}}=\int \dfrac{\sin x\;dx}{\cos x\cdot\dfrac{1}{|\cos x|}}=-\int \dfrac{|\cos x|}{\cos x}\;d\cos x=-\mathrm{sgn}(\cos x)\cos x+C$

Задание выполнено!

Answer 2

Ответ:

 $-|\cos x|+C.$

Объяснение:

      $\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{\sqrt{1+{\rm tg}^2x}}\, dx=\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{(1+{\rm tg}^2 x)^{3/2}\cos^2 x}\, dx=\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{(1+{\rm tg}^2 x)^{3/2}}\, d\,{\rm tg}\ x=$

         $=||{\rm tg}\ x=t||=\int\dfrac{t}{(1+t^2)^{3/2}}\, dt=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(t^2+1)}{(1+t^2)^{3/2}}=||t^2+1=p||=$

           $=\dfrac{1}{2}\int p^{-3/2}\, dp=\dfrac{1}{2}\dfrac{p^{-3/2+1}}{-3/2+1}+C=-p^{-1/2}+C=-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}+C=$

                    $=-\dfrac{1}{\sqrt{{\rm tg}^2x+1}}+C=-\sqrt{\cos^2x}+C=-|\cos x|+C.$