Question

Вычислите
$\displaystyle \frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2 + 3} +\frac{1}{1+2 +3 + 4}+ \dots + \frac{1 }{1 + 2 + 3 + 4 +\dots+ 2023}$
Затем через n выведите общую формулу для нахождения
$\displaystyle \frac{1}{1+2 }+ \frac{1}{1+2 + 3} +\frac{1}{1+2 +3 + 4}+ \dots + \frac{1 }{1 + 2 + 3 + 4 +\dots+ n }$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{n-1}{n+1}.$

Объяснение:

           $a_k=\dfrac{1}{1+2+\ldots+k}=\dfrac{1}{\frac{k(k+1)}{2}}=\dfrac{2}{k(k+1)}=2\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right).$

Поэтому

         $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\ldots+\dfrac{1}{1+2+\ldots+ n}=a_2+a_3+\ldots+a_n=$

                $=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=$

                          $=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}\right)=2\cdot\dfrac{n+1-2}{2(n+1)}=\dfrac{n-1}{n+1}.$

В частности,            $a_2+a_3+\ldots+a_{2023}=\dfrac{2022}{2024}=\dfrac{1011}{1012}.$

Замечание. Действовать в обратном порядке - сначала получить ответ для n=2023, а затем выводить общую формулу, мне кажется неразумным времяпрепровождением. Другое дело, если бы попросили сначала получить ответ для, скажем, n=3, 4, 5, 6 - это я приветствую.

Замечание. Мы воспользовались очевидной формулой

                                         $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.$

Думаю, что есть смысл помнить её наизусть.

Например, Вас спрашивают: верно ли, что 30°=90°-60°? Вы отвечаете: - конечно! Ведь  $\dfrac{\pi}{6}=\pi\cdot\dfrac{1}{2\cdot 3}=\pi\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}.$