Ответы
Відповідь:
n = 9
Покрокове пояснення:
Якщо взяти будь який многокутник з кількістю сторін n більшу за три ( у трикутнику неможливо провести діагональ ), то з кожної вершини можно провести ( n - 3 ) діагоналі. Ми віднімаємо три вершини, тому, що перша вершина - це вершина з якої ми проводимо діагоналі, а ще дві вершини - це сусідні з даною вершиною і лінія, що поєднує ці вершини - це сторона многокутника. З кожної з n вершин можна провести ( n - 3 ) діагоналей. Разом отримаємо ( n - 3 ) × n. Але у кожної з порахованих нами діагоналі є дві вершини, отже ми порахували кожну діагональ два рази, таким чином кількість діагоналей опуклого n- кутника дорівнює ( n - 3 ) * n / 2.
Отримаємо рівняння:
( n - 3 ) * n / 2 = 3n
n² - 3n = 6n
n² - 3n - 6n = 0
n² - 9n = 0
D = 9² - 4 × 1 × 0 = 81
n1 = ( 9 + 9 ) / 2 = 9
n2 = ( 9 - 9 ) / 2 = 0
Другий корінь відкидаємо, отже у многокутника не може бути нуль кутів.
Перевірка:
У опуклого дев'ятикутника є дев'ять сторін та дев'ять вершин. З кожної з дев'яти вершин можна провести шість діагоналей. Разом отримаємо 6 × 9 = 54 діагоналі. Але у кожної з порахованих нами діагоналі є дві вершини, отже ми порахували кожну діагональ два рази, маємо 54 / 2 = 27 діагоналей.
Кількість діагоналей опуклого дев'ятикутника утричі більша за кількість його сторін:
27 = 9 × 3
27 = 27
Все вірно.