Question

решить уравнение
4║x+1║-1=3║2x+5║-2║x+5║
║ это знак модуля
подробно решить

Answer 1

Ответ:

$( -\infty ~ ; ~ - 5 ] \cup \{-1,25\}$

Объяснение:

Решить уравнение  
4·|x+1|  - 1  = 3·|2x + 5|  - 2·|x+5|

Перенесем все модуля содержащие выражения в одну сторону , а числа в другую

4·|x+1| - 3·|2x + 5|  + 2·|x+5|  = 1

Переходим к решению

Находим нули модулей , а таковыми являются  точки  
x = -1 ,   x = -2,5  ,  x = -5. Они разобьют  нашу числовую прямую на 4  промежутка

Отображаем их :

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.915,-0.2) {\sf -5} \put(0.3 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.3 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.38 ,0.09){ \Large \sf III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){3}} \put(1.9,-0.2) {\sf -2,5} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \put(3.01,0) {\line(0,3){0.3}}\put(2.93,-0.2) {\sf -1} \put(3.3 ,0.09){ \Large \sf IV } \end{picture}$

  —                          —                         —                  +                   x +  1

   —                        —                           +                     +                 2x + 5

    —                        +                          +                     +                     x + 5

I)    x ∈ (-∞ ; -5)
4·|x+1| - 3·|2x + 5|  + 2·|x+5|  = 1

-4(x+1) + 3(2x+5) - 2(x+5) = 1

-4x - 4 + 6x + 15 -2x -10 = 1

15 - 14 = 1

1 = 1    ⇒  когда  x ∈ (-∞ ; -5)  уравнение имеет бесконечное множество решений

II)  x ∈ [ - 5 ; -2,5 )

-4(x+1) + 3(2x+5) + 2(x+5) = 1

-4x - 4 + 6x + 15 + 2x + 10 = 1

4x + 21 = 1

x  = -5 ∈ [ - 5 ; -2,5 )  $\checkmark$

III) x ∈ [ -2,5  ; 1 )

-4(x+1) - 3(2x+5) + 2(x+5) = 1

-4x - 4 - 6x - 15 + 2x + 10 = 1

-8x - 9  = 1

x = -1,25  ∈ [ -2,5  ; 1 ) $\checkmark$

IV) x ∈ [ 1 ; ∞ )

4(x+1) - 3(2x + 5)  + 2(x+5) = 1

4x + 4 -6x - 15 + 2x + 10 = 1
14 - 15 = 1

- 1 = 1 ∅

Находим объедение всех решений
$( -\infty ~ ; ~ - 5 )\cup \{-5\} \cup \{-1,25\}$

И мы получим  промежуток :
$( -\infty ~ ; ~ - 5 ] \cup \{-1,25\}$