Question

Задание на картинке
​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Для доказательства данного неравенства воспользуемся сравнением рядов:

1/3 + 1/8 + 1/15 + ... + 1/(n²-1) < ∫[2,n] 1/x² dx,

где ∫[2,n] 1/x² dx - интеграл от функции 1/x² на отрезке [2,n].

Вычислим интеграл:

∫[2,n] 1/x² dx = [-1/x] от 2 до n = 1/2 - 1/n,

Подставим это выражение в исходное неравенство:

1/3 + 1/8 + 1/15 + ... + 1/(n²-1) < 1/2 - 1/n.

Теперь оценим правую часть неравенства:

1/2 - 1/n = (n-2)/(2n) < 1/2,

Поскольку для любого натурального n > 2 выполнено неравенство (n-2)/(2n) < 1/2.

Таким образом, получаем:

1/3 + 1/8 + 1/15 + ... + 1/(n²-1) < 1/2 - 1/n < 1/2,

Таким образом, сумма ряда ограничена сверху числом 1/2, что меньше 3/4.

Таким образом, доказано неравенство:

1/3 + 1/8 + 1/15 + ... + 1/(2004²-1) < 3/4.