Question

Даю 100 балів.

Потрібно вирішити 3 завдання з логарифмами.

Дуже детально все розписати з поясненнями.

Answer 1

Объяснение:

                          Вид простейшего неравенства:

                     $\\\boxed {log_af(x)\ \vee\ log_ag(x)\ \ \ \ \ \ \vee=\ < ,\ > ,\ \leq ,\ \geq .}$

Если a>1,  ⇒   f(x)>g(x) или f(x)≥g(x);

Если 0<a<1,  ⇒   f(x)<g(x) или f(x)≤(x),

1)

ОДЗ:

$\displaystyle\\\left \{ {{x+4 > 0} \atop {19-4x > 0}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -4} \atop {19 < 4x\ |:4}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -4} \atop {4,75 > x}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -4} \atop {x < 4,45}} \right. \ \ \ \ \Rightarrow\\\\x\in(-4;4,75)$

$log_{0,4}(x+4) > log_{0,4}(19-4x)\ \ \ \ 0 < 0,4 < 1\ \ \ \ \Rightarrow\\\\x+4 < 19-4x\\\\x+4x=19-4\\\\5x < 15\ |:5\\\\x < 3.$

Учитывая ОДЗ:

$OTBET: (-4;3).$

2)

$log_8(2x+3) > log_8(x-1)\ \ \ \ \ \ \ 8 > 1\ \ \ \ \ \Rightarrow$

ОДЗ:

$\displaystyle\\\left \{ {{2x+3 > 0} \atop {x-1 > 0}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{2x > -3\ |:2} \atop {x > 1}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -1,5} \atop {x > 1}} \right. \ \ \ \ \Rightarrow\\\\x\in(1;\+\infty).$

$2x+3 > x-1\\\\2x-x > -3-1\\\\x > -4.$

Учитывая ОДЗ:

$OTBET: (1;+\infty).$

3)

$log_{0,4}(5x+1) < log_{0,5}(3-2x)\ \ \ \ 0 < 0,4 < 1\ \ \ \ \Rightarrow$

ОДЗ:

$\displaystyle\\\left \{ {{5x+1 > 0} \atop {3-2x > 0}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{5x > -1\ |:5} \atop {3 > 2x\ |:2}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -\frac{1}{5} } \atop {\frac{3}{2} > x}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x > -\frac{1}{5} } \atop {x < \frac{3}{2} }} \right. \ \ \ \ \Rightarrow\\\\x\in(-\frac{1}{5} ;\frac{3}{2} ).$

$\displaystyle\\5x+1 > 3-2x\\\\5x+2x > 3-1\\\\7x > 2\ |:7\\\\x > \frac{2}{7} .$

Учитывая ОДЗ:

$\displaystyle\\OTBET: (\frac{2}{7} ;\frac{3}{2} ).$