Question

Срочно!Пожайлуста..... 85 балов

Answer 1

1)

$f(x) = 2\sin(2x) - (\sin(x) + \cos(x))^2 + x; \quad x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Немного упростим

$f(x) = 2\sin(2x) - (\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)) + x = \\ = 2\sin(2x) - (1 + \sin(2x)) + x = \sin(2x) + x - 1$

Найдём производную и её нули

$f'(x) = 2\cos(2x) + 1$

$f'(x) = 0 \Rightarrow 2\cos(2x) + 1 = 0\\\cos(2x) = -\frac12\\x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Просто проверим границы отрезка и экстремумы в отрезке, т.е.$\{\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\}$

$f(-\pi/2) = -1 - \pi/2 \\f(-\pi/3) = -1 - \sqrt{3}/2 - \pi/3\\f(\pi/3) = -1 + \sqrt{3}/2 + \pi/3\\f(\pi/2) = -1 + \pi/2$

Сравним последние два значения

$f(\pi/3) \quad \dots \quad f(\pi/2)\\-1 + \sqrt{3}/2 + \pi/3 \quad \dots \quad -1 + \pi/2\\\sqrt{3}/2 + \pi/3 - \pi/2 \quad \dots \quad 0\\\sqrt{3}/2 - \pi/6 \quad \dots \quad 0$

Можно доказать, что $\sqrt{3}/2 > \pi/6$ или просто вычислить на калькуляторе, в итоге получим, что $f(\pi/3) > f(\pi/2)$ и при  $x = \pi/3$ будет наибольшее значение функции на отрезке $f(\pi/3) = -1 + \sqrt{3}/2 + \pi/3$.

Аналогично с минимумом получим $f(-\pi/3) < f(-\pi/2)$ и при  $x = -\pi/3$ будет наименьшее значение $f(-\pi/3) = -1 - \sqrt{3}/2 - \pi/3$.

2)

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 2; x \in [-1; 4]$

Найдём производную

$f'(x) = 6x^2 - 18x = 6x(x-3)$

Нули её, очевидно, будут при $x = \{0, 3\}$.

Проверим границы отрезка и экстремумы

$f(-1)=-2-9+2 = -9\\f(0) = 2\\f(3) = 54 - 81 + 2 = -25\\f(4)=128-144+2=-14$

Тут наибольшее значение на отрезке будет достигаться при $x = 0$ и будет $f(0) = 2$, а наименьшее при $x = 3$ и будет $f(3) = -25$.