Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 12 см, а бічна грань утворює з площиною основи кут 30°.
Полностью решение!!!
Даю 20 баллов!!!!!!!!
Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Об'єм правильної чотирикутної піраміди можна знайти за формулою:
V = (1/3) * S_base * h,
де S_base - площа основи, а h - висота піраміди.
Знайдемо спочатку висоту піраміди. Позначимо вершину піраміди як точку O, середину основи як точку M, а точки A та B як точки перетину граней піраміди і площини основи.
Оскільки правильна чотирикутна піраміда має рівні грані та висоти бічних граней, то трикутник OAB є рівнобедреним, де OA = OB - сторона основи, а ∠OAB = 30°. Оскільки в рівнобедреному трикутнику висота ділить основу на дві рівні частини, то точка M - середина сторони AB.
Таким чином, AM = MB = (1/2) * 12 см = 6 см.
Трикутник OAB має кут при вершині O, який дорівнює 120°, оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, а два кути при основі рівні 30° (відповідно до умови). Отже, за теоремою косинусів:
OA^2 = OB^2 = AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 * AM * BM * cos(120°) = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * (-1/2) = 36 + 36 + 36 = 108,
де OA = OB, оскільки трикутник OAB - рівнобедрений.
Таким чином, довжина бічної грані піраміди дорівнює √108 см = 6√3 см.
Висота піраміди є відрізком, проведеним від точки O перпендикулярно до площини основи. Оскільки OAB - рівнобедрений трикутник, то висота піраміди спускається на точку M - середину сторони AB.
Позначимо висоту піраміди як h, тоді відрізок OM дорівнює h/2, а OA = OB = 6√3 см.
Таким чином, за