Question

1360. Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(2; 1; 3), B(7; 4; 5), с(4; 2; 1) - прямокутний.​

Answer 1

Відповідь: Трикутник ABC є прямокутним.

Покрокове пояснення:

Вектор AB:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7-2 \ 4-1 \ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}$

Вектор AC:

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-2 \ 2-1 \ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -2 \end{pmatrix}$

Вектор BC:

$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4-7 \ 2-4 \ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ -2 \ -4 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = 3\sqrt{2}$

Оскільки $|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BC}|^2$, то трикутник ABC є прямокутним за теоремою Піфагора.