Question

Знайдіть площу діагонального перерізу, площу бічної поверхні та площу основи правильної чотирикутної призми, у якої: діагональ бічної грані дорівнює l, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α.
Записати: Дано, розв'язання, потрібний малюнок.

Answer 1

Ответ:

Площадь диагонального сечения:

$\boldsymbol{S_{BB_1D_1D}=\dfrac{2l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}$

Площадь боковой поверхности:

$\boldsymbol{S=\dfrac{4\sqrt{2}l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}$

Площадь основания:

$\boldsymbol{S_{ABCD}=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha+1}}$

Объяснение:

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма,

DC₁ = l,

∠(DB₁; (ABC)) = α

Найти:

$S_{BB_1D_1D},$

S - площадь боковой поверхности,

$S_{ABCD}.$

Решение:

BD - проекция B₁D на плоскость основания, тогда

∠B₁DD₁ = α - угол наклона диагонали призмы к плоскости основания.

Призма правильная, значит в основании лежит квадрат.

Обозначим сторону основания АВ = а, боковое ребро CC₁ = b.

BD = a√2 как диагональ квадрата.

ΔBB₁D:

ВВ₁ = BD · tgα

b = a√2 · tgα

ΔCC₁D:  по теореме Пифагора

DC₁² = CC₁² + CD²

$l^2=b^2+a^2$

$l^2=(a\sqrt{2}\cdot tg\: \alpha)^2+a^2$

$l^2=2a^2tg^2\alpha +a^2$

$a^2=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha +1}$

$\boldsymbol{a=\dfrac{l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}}$

$b=a\sqrt{2}\cdot tg\alpha$

$\boldsymbol{b=\dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}}$

Площадь диагонального сечения:

$S_{BB_1D_1D}=BD\cdot BB_1=a\sqrt{2}\cdot b$

$S_{BB_1D_1D}=\dfrac{l\sqrt{2}}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\cdot \dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}$

$\boldsymbol{S_{BB_1D_1D}=\dfrac{2l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}$

Площадь боковой поверхности:

$S=4a\cdot b=\dfrac{4l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\cdot \dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}$

$\boldsymbol{S=\dfrac{4\sqrt{2}l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}$

Площадь основания:

$S_{ABCD}=a^2=\left({\dfrac{l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\right)^2$

$\boldsymbol{S_{ABCD}=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha+1}}$