Помогите пожалуйста кто шарит.
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых уравнение a²-ax - 2x² - 0,5x - 2a + la + 2,5x| = 0 - имеет ровно три различных корня. В ответе укажите количество значений параметра а, удовлетворяющих условию задачи.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Спочатку застосуємо формулу дискримінанту для знаходження кількості коренів рівняння:
D = b² - 4ac
Тут a = a² - a, b = -2x² - 0,5x + la + 2,5x, c = -2a + 2.
Після підстановки отримуємо:
D = (-2x² - 0.5x + la + 2.5x)² - 4(a² - a)(-2a + 2)
Simplifying the expression, we get:
D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a
Щоб рівняння мало рівно три різні корені, дискримінант повинен бути додатнім і більшим за нуль:
D > 0
D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a > 0
(-2x² + (la + 2)x + 2a)² > 8a² - 8a
(2x² - (la + 2)x - 2a)² < 8a - 8a²
2x² - (la + 2)x - 2a < 2√2(2 - a)
Тепер враховуючи те, що ми маємо мати рівно три різні корені, зрозуміло, що a не може дорівнювати 0, 1 або 2. Також, щоб відповідати умові, ми повинні мати три різні значення х для кожного значення а.
Далі, рівняння має мати три різні корені, тому дискримінант має бути більшим за нуль, тобто:
D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a > 0
(-2x² + (la + 2)x + 2a)² > 8a² - 8a
(2x² - (la + 2)x - 2a)² < 8a - 8a²
2x² - (la + 2)x - 2a < 2√2(2 - a)
Тепер розглянемо різні значення а:
Якщо a = 0, 1 або 2, то відповідь відсутня.
Якщо a > 2, то права частина нерівності виходить за межі області визначення лівої частини, тому