Question

Національний дохід розділений на дві частини: накопичення основних виробничих фондів К(dy/dx) і вжиток e^(t/10) (невиробничий вжиток, приріст матеріальних оборотних
коштів, державних матеріальних резервів). За допомогою наступної моделі економічної динаміки знайти функцію динаміки національного доходу у(t) при t> 0, у(10) = e^5.
y = ky' + e^(t/10) ,
де k
коефіцієнт капіталоємності національного доходу, тобто відношення виробничого накопичення до приросту національного доходу.

Answer 1

(можна корону, будь ласка)

Відповідь:

y(t) = e^(t/10)(Ae^(-t/k) + e^(5-10k)), де A = e^(10k) - 1, k - коефіцієнт капіталоємності, а у(10) = e^5.

Покрокове пояснення:

u = ky + e^(t/10)

du = kdy + (1/10)e^(t/10)dt

dy = (1/k)du - (1/k^2)e^(t/10)dt

Підставляємо у вираз для інтегрування:

∫(1/u)du = ∫dt/k

ln|u| = (1/k)t + C1

Повертаємося до початкових змінних:

ln|ky + e^(t/10)| = (1/k)t + C1

ky + e^(t/10) = Ce^(t/k)

де C = ±e^(C1)

Застосуємо початкову умову:

y(10) = Ce^(e/2k) = e^5

Отримали:

C = e^(5-10k)

Тому розв'язок має вигляд:

ky + e^(t/10) = e^(5-10k)e^(t/k)

або

y(t) = e^(t/10)(Ae^(-t/k) + e^(5-10k))

де A = e^(10k) - 1.