Знаідіть периметар трикутника, якщо точки дотику кола , вписоного в цій трикутник , ділить його сторони на відрізки , три з яких дорівнюють 5см 7см та 10 см . У відповідь напишіть тільки число
Ответы
За теоремою про дотичні до кола, які проведені з точки дотику, довжина відрізка дотику до кола дорівнює половині суми довжин двох сегментів, на які ділиться сторона трикутника цим дотичним.
Позначимо довжину сторін трикутника через a, b та c, тоді за формулою для площі трикутника, вписаного в коло радіуса r, маємо:
S = p*r, де p - півпериметр трикутника.
З іншого боку, півпериметр трикутника дорівнює сумі довжин сегментів на кожну сторону трикутника, які утворюються дотичними з точок дотику вписаного кола.
Отже, маємо:
p = (5+5+a)/2 + (7+7+b)/2 + (10+10+c)/2 = (a+b+c+44)/2
З іншого боку, з теореми Піфагора для трикутника, вписаного в коло радіуса r, маємо:
a^2 + b^2 = (2r)^2, b^2 + c^2 = (2r)^2, c^2 + a^2 = (2r)^2
Тоді сума довжин сторін трикутника дорівнює:
a+b+c = sqrt((a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2)) = sqrt(2*(a^2 + b^2 + c^2))
Отже, периметр трикутника дорівнює:
P = a+b+c = sqrt(2*(a^2 + b^2 + c^2))
Замінюємо a = 5, b = 7, c = 10 та отримуємо:
P = sqrt(2*(5^2 + 7^2 + 10^2)) ≈ 18.83
Отже, периметр трикутника приблизно дорівнює 18.83 см.