на решай на 5Б гемов "Джон и Джейн играют в азартную игру. У Джона есть 4 монеты, и он выбирает, какую сторону каждой монеты выпадет (орел или решка). У Джейн есть 6 монет, и она делает то же самое. Оба бросают свои монеты одновременно. Какова вероятность того, что у Джона и Джейн выпадет одинаковое число орлов?"
Ответы
выпадет одинаковое число орлов, когда они имеют одинаковое количество орлов и решек, составляет:
2
10
×
55
2
10
=
55
2
10
2
10
×55
=55
Теперь рассмотрим второй случай, когда у Джона и Джейн разное количество орлов и решек. Для Джона это может быть 0 орлов, 2 орла или 4 орла, и аналогично для Джейн это может быть 1, 3 или 5 орлов. В этом случае общее число способов бросить монеты, чтобы иметь разное количество орлов и решек, составляет:
2
4
×
2
6
−
55
=
961
2
4
×2
6
−55=961
Для каждого из этих способов Джон может выбрать орла и решку с вероятностью $0.5$. Количество способов выбрать орел и решку равно $2^4$ для Джона и $2^6$ для Джейн. Таким образом, общее число способов бросить монеты, чтобы у Джона и Джейн было разное количество орлов и решек, равно сумме произведений числа способов выбора орла и решки для каждого из них, а именно:
(
0
×
2
4
)
×
(
1
×
2
6
)
+
(
2
×
2
4
)
×
(
3
×
2
6
)
+
(
4
×
2
4
)
×
(
5
×
2
6
)
(0×2
4
)×(1×2
6
)+(2×2
4
)×(3×2
6
)+(4×2
4
)×(5×2
6
)
=
2
4
×
2
6
×
(
0
×
1
+
2
×
3
+
4
×
5
)
=2
4
×2
6
×(0×1+2×3+4×5)
=
2
10
×
26
=2
10
×26
Таким образом, вероятность того, что у Джона и Джейн будет разное количество орлов и решек, составляет:
2
10
×
26
2
10
=
26
2
10
2
10
×26
=26
Таким образом, вероятность того, что у Джона и Джейн выпадет одинаковое количество орлов, равна вероятности первого случая плюс вероятности второго случая, то есть:
55
+
26
=
81
55+26=81
Таким образом, вероятность того, что у Джона и Джейн выпадет одинаковое количество орлов, составляет $81/2^{10}=0.0791$, или около 7.91%