Через вершину прямого угла В прямоугольного треугольника ABC проведена прямая PB,
перпендикулярная к его плоскости. Известно, что AB=CB. Найдите расстояние от точки P до
прямой AC. Если известно, что AB=4см, а PB = 2 ∙ √7см.
Заранее спасибо
Ответы
Ответ:
Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то прямая PC, проходящая через точку P перпендикулярно прямой AC, будет являться высотой треугольника.
Так как AB=CB, то треугольник ABC равнобедренный, а значит, высота PC также будет являться медианой и биссектрисой.
Пусть точка Q на AC является проекцией точки P на прямую AC. Тогда, из свойств треугольника, расстояние от точки P до прямой AC будет равно расстоянию от точки Q до прямой AC.
Обозначим BP как h. Тогда из треугольника PBC мы можем выразить AC через h:
AC = PB / cos(CBP) = (2 * sqrt(7) см) / (AB / h) = 2 * sqrt(7) см * h / 4 см = h * sqrt(7) / 2 см
Также мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника PBC, чтобы выразить h через AB:
h ** 2 + (AB / 2) ** 2 = PB ** 2 h ** 2 + 8 см ** 2 = 28 см ** 2 h ** 2 = 480 см ** 2 h = 4 * sqrt(30) см
Теперь мы можем выразить расстояние от точки P до прямой AC:
PQ = QC = AC / 2 = h * sqrt(7) / 4 см = (sqrt(30) * sqrt(7)) см
Ответ: расстояние от точки P до прямой AC равно sqrt(30) * sqrt(7) см.