ДАЮ 25 БАЛЛІВ!!
Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії (an), якщо: a7 +a13 = -104 i a2*a6 = -240.
Ответы
Ответ:
Ми можемо скласти дві рівності, використовуючи дані про суму певних членів прогресії:
a7 + a13 = -104 ...(1)
a2 + 5d + a2 + 11d = -104 ...(2)
Також ми можемо записати формулу для n-го члену прогресії:
an = a1 + (n - 1) * d
Тоді за формулою для добутку двох членів прогресії:
a2 * a6 = (a1 + d)*(a1 + 5d)
a2 * a6 = a1^2 + 6ad + 5d^2
a2 * a6 = a1^2 + 6ad + 5d^2 ...(3)
Ми можемо використати (1) і (2), щоб знайти a7 та a13:
a7 + a13 = -104
2a1 + 36d = -104
a1 + 18d = -52
Тоді ми можемо використати це значення для знаходження a2 і a6:
a2 = a1 + d
a6 = a1 + 5d
Ми можемо також використати (3), щоб знайти a1 відносно d:
a2 * a6 = a1^2 + 6ad + 5d^2
-240 = a1^2 + 6a1(a1 + 4d) + 20d^2
0 = a1^2 + 6a1(a1 + 4d) + 20d^2 + 240
0 = a1^2 + 6a1(a1 + 4d) + 100d^2 + 4d^2 + 240
0 = (a1 + 3a1 + 12d)^2 + 4d^2 - 80
(a1 + 3a1 + 12d)^2 + 4d^2 = 80
(a1 + 3a1 + 12d)^2 = 80 - 4d^2
a1 + 3a1 + 12d = ±√(80 - 4d^2)
a1 + 3a1 + 12d = ±2√(20 - d^2)
Також ми можемо використати рівняння a1 + 18d = -52, щоб виразити a1 відносно d:
a1 = -52 - 18d
Тоді:
-52 - 18d + 3(-52 - 18d) + 12d = ±2√(20 - d^2)
-52 - 54d + 12d = ±2√(20 - d^2)
-42d = ±2√(20 - d^2) + 52
d = (±2√(20 - d^2) + 52) / -42
d = (-√(20 - d^2) + 26) / 21 або d = (√(20 - d^2) + 26) / 21
Тепер ми можемо підставити значення d в рівняння a1 + 18d = -52, щоб знайти a1:
a1 + 18d = -52
a1 = -52 - 18d
Тоді:
Якщо d = (-√(20 - d^2) + 26) / 21, то:
a1 = -1, d = 3
Якщо d = (√(20 - d^2) + 26) / 21, то:
a1 = -25, d = -3
Отже, перший член і різниця арифметичної прогресії можуть мати два набори значень:
a1 = -1, d = 3
або
a1 = -25, d = -3.