Question

Произведение двух чисел равно их сумме, а учетверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел

Answer 1

Пусть эти числа равны $a$ и $b$. Составим систему уравнений на основе условия:

$\begin{cases} ab=a+b \\ 4ab=a^2+b^2 \end{cases}$

Рассмотрим и преобразуем второе уравнение:

$a^2+b^2=4ab$

$a^2+b^2+2ab=4ab+2ab$

$(a+b)^2=6ab$

В правой части заменим произведение $ab$, используя первое уравнение системы:

$(a+b)^2=6(a+b)$

$(a+b)^2-6(a+b)=0$

$(a+b)(a+b-6)=0$

$\left[\begin{array}{l} a+b=0 \\ a+b=6\end{array}\right.$

Учитывая, что сумма чисел по условию совпадает с произведением, рассмотрим два случая.

Первый случай:

$\begin{cases} a+b=0 \\ ab=0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$:

$b=-a$

Подставим во второе:

$a\cdot (-a)=0$

$-a^2=0$

$a^2=0$

$a_1=0\Rightarrow b_1=-0=0$

Первая пара чисел найдена.

Второй случай:

$\begin{cases} a+b=6 \\ ab=6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$:

$b=6-a$

Подставим во второе:

$a(6-a)=6$

$6a-a^2=6$

$a^2-6a+6=0$

$D_1=(-3)^2-1\cdot6=3$

$a_2=3+\sqrt{3} \Rightarrow b_2=6-(3+\sqrt{3} )=3-\sqrt{3}$

$a_3=3-\sqrt{3} \Rightarrow b_3=6-(3-\sqrt{3} )=3+\sqrt{3}$

Найдено еще две пары чисел.

Ответ: $a_1=0;\ b_1=0;$

$a_2=3+\sqrt{3};\ b_2=3-\sqrt{3};$

$a_3=3-\sqrt{3};\ b_3=3+\sqrt{3}$