Ответы
Ответ:
Для розв'язання цього диференціального рівняння першого порядку застосуємо метод інтегруючого множника.
1. Знайдемо інтегруючий множник:
множник = exp(∫-cos(x)dx) = exp(sin(x))
2. Помножимо обидві частини диференціального рівняння на інтегруючий множник:
exp(sin(x)) * (y' - y cos(x)) = -exp(sin(x)) * sin(2x)
3. Застосуємо правило диференціювання добутку для знаходження лівої частини:
d/dx (y * exp(sin(x))) = -sin(2x) * exp(sin(x))
4. Проінтегруємо обидві частини відносно x:
∫ d/dx (y * exp(sin(x))) dx = ∫ -sin(2x) * exp(sin(x)) dx
y * exp(sin(x)) = -1/2 * exp(sin(x)) + C, де С - довільна стала
5. Розв'яжемо отримане рівняння відносно y:
y = (-1/2 + C) * exp(-sin(x))
6. Знайдемо значення сталої С, використовуючи початкову умову y(0) = 3:
3 = (-1/2 + C) * exp(-sin(0))
3 = (-1/2 + C) * 1
C = 7/2
Отже, розв'язок диференціального рівняння має вигляд:
y = (-1/2 + 7/2) * exp(-sin(x)) = 3 * exp(-sin(x))
Таким чином, функція, яка задовольняє дане диференціальне рівняння та початкову умову, має вигляд y = 3 * exp(-sin(x)).